指向數學核心素養培育的教學“三重視”

【摘 要】高中階段數學的學習包含這樣三個方面：學習數學概念、學習數學解題、學習書面表達。這三個方面應該站在培育學生數學核心素養的角度去做，即重視概念的形成過程，幫助學生從“學會”到“會學”;重視解題的思路分析，幫助學生掌握思想方法;重視表達的規范要求，在精致表達中提升素養。堅持做好這三點，有助于培養學生的核心素養。

【關鍵詞】概念學習;數學解題;數學表達

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）91-0031-04

【作者簡介】徐永忠，江蘇省興化中學（江蘇興化，225700）教師，正高級教師，全國優秀教師，中國數學奧林匹克一級教練員。

目前，數學教學工作指向學生數學核心素養的培育已經是許多教師的共識。數學核心素養的培養不是一朝一夕完成的，必須通過每節課中的概念、例題與習題的深入研究而完成。如何培養學生的數學核心素養，下面談一些筆者的看法。

一、重視概念的形成過程，幫助學生從“學會”到“會學”

數學概念是學好數學的基石，不重視數學概念的形成過程等于沒有學數學。有不少教師不懂怎么教數學概念，還是采用“一個定義、三項注意，大量練習”的教學方式，教師不講概念產生的背景，學生不經歷概念的抽象概括過程，只是依靠大量的解題訓練強化概念。這種生吞活剝式的學習導致學生沒有真正弄懂概念的含義以及概念中所包含的思想方法。這種做法帶來的弊端很多，其中之一是學生失去了學習的樂趣。本來學習是一件快樂的事情，由于采取“粗魯”的教學方式，學生沒有經歷數學概念的形成過程，不能夠開展有深度的思維活動，也就失去了學習的樂趣。進而其數學探究能力得不到培養，遇到新問題還是依賴記憶和模仿，面對新的概念或者稍微有點難度的問題往往束手無策。

當前一些靠“死訄”的學校獲得了不錯的成績。不少學校的教師和學生誤認為數學的學習就是接受一大堆數學知識應付高考。如果將數學學習僅僅作為升學的“敲門磚”，理解為“刷題”的數量和速度，那么這樣的學習是很痛苦的。即使高考獲得高分進入名校，在高校的學習也會遇到很大的問題。

南京大學朱富海教授一直關注大學教育和大學生的狀況，時常困惑于學生暴露出來的問題，比如自學、主動探索和接受新知識等方面能力的欠缺。他認為，這些問題，固然有大學教育不足的因素，但主要還是在中小學教育中逐漸累積下來的，并且根深蒂固。朱富海教授說：“在10多年的大學教學生涯中，我看到很多大學生用中學的學習方式痛苦地學習大學課程。……原因何在？跟他們聊一聊就能發現問題：他們只會記憶定義和命題，并不會深入思考其中的內涵，他們已經習慣于在反復多次的學習后才能記住一個知識點，重復的次數不夠多效果就會很差;遇到問題根本不會分析，不知道從何下手;課上嘗試的引導對相當一部分學生來說是沒有用的，因為探索不在他們的字典里。”[1]蘇霍姆林斯基曾說：用記憶代替思考，用背誦代替鮮明的感知和觀察，只會使學生變得愚蠢。

高中數學課程標準修訂組負責人王尚志教授提出，從“學會”到“會學”。“會學”就是落實的行動，“會學數學”主要表現在：會提出問題，會數學閱讀，會梳理知識，會表達反思等。他還指出：數學核心素養就是希望學生把數學最重要的東西變成自覺觀念，落實在應用、學習中。[2]

例如在教“指數函數”這節內容時，要教學生學會研究函數的一般方法，就要通過問題情境，從特殊到一般歸納提煉出指數函數的概念;接著要明確研究方向，尋找研究方法，從個別函數入手畫圖象，運用數形結合思想方法歸納概括其性質;最后運用函數解決新問題。這樣做就經歷了數學問題解決的一般過程：創設情境、提出問題;分析轉化、解決問題;運用鞏固、內化遷移;回顧反思、拓展問題。

指數函數是學生進入高中階段后研究的第一個新函數，是對前面所學函數的概念、要素、單調性、奇偶性的一次實際體驗。當學生學會了研究指數函數過程和方法之后，達到“會學”的程度時，就能夠對后續函數（對數函數、冪函數）進行自主探索，得到研究結論。這時數學抽象、邏輯推理、數學建模等素養就得到提升。

“四基”“四能”只能通過“思維過程的教學”才能落實。這個“過程”是學生在教師的啟發下積極主動地理解數學知識的思維過程，數學學科核心素養也只有在這樣的過程中才能得以實現。

數學教學應該以數學知識的發生發展過程為載體，以恰時恰點的問題引導學生的思維活動，努力使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，在過程中培養數學思維、發展數學能力。

二、重視解題的思路分析，幫助學生掌握思想方法

解題教學在高中階段占有較大的分量，從某種意義來說，高中數學教學的主體是解題教學，或者運用所學到的數學概念去解題;通過數學解題深化對數學概念的理解、拓展數學定理的運用等。所以在解題教學中要重視數學思想方法的滲透和提煉，讓學生在解題中逐步掌握數學思想方法，這樣能使學生站得高、看得遠，增強舉一反三的能力，減輕過重的學業負擔。

具體來說，在教學中教師要引導學生經歷解題思路的分析過程，而不是僅僅記住某些結論。即使某些結論在解題時作用比較大，教師也應該帶著學生將這樣的結論認真地證明一下，使學生明白其中的道理，這樣學生在使用時就能夠得心應手。

在解析幾何中有不少結論，例如：一條直線與橢圓相交，則交點弦中點與對稱中心連線的斜率和這條交線的斜率乘積是定值。解題時直接使用看起來比較方便，但是如果學生只是死記硬背這個結論就可能造成這樣幾種情況：第一，如果命題者考的知識點就是學生平時直接使用的結論，那么這個知識點的分數就拿不到了;第二，如果方程的形式變了，焦點在x軸上的方程改成焦點在y軸上的方程，這個時候，定值就可能搞錯，以至于整個題目解錯;第三，對于一些質量高一點的問題，常常會考結論背后的數學思想方法以及需要注意的地方，如“點差法”在雙曲線中怎么使用，如果不注意相交的條件，就可能導致錯誤。所以一定要讓學生經歷解題的思維過程，學生才能真正掌握這些知識以及這些知識背后的數學思想方法。

數學教育家波利亞在他的著作《怎樣解題》中提出解題的四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧。每一個環節都很重要。我們往往看到的或者呈現出來的基本上都是第三個步驟。而第一個步驟和第四個步驟被忽略，其實解題思路的獲得更多依賴第一個步驟。

對于填空題，并不是只要填個答案就萬事大吉了。必須要弄清楚為什么是這個答案，應該像做解答題一樣講清楚其中的來龍去脈。例如，高三一輪復習，“三角函數”部分有這樣一道題：設f（x）=a1sin2x+（a2-2）sinxcosx+cos2x（a12+a22≠0）。若無論x為何值，函數f（x）的圖象總是一條直線，則a1·a2的值是? ? 。

從學生的作業情況看，90%的學生用紅筆填了一個答案“2”。問他們為什么是“2”，基本上沒有人能夠說出道理來。這個“2”源于參考答案，而參考答案沒有提供詳細的解答過程，學生很誠實，用紅筆寫出來。實際上要解決這道題必須要很熟悉數學概念，能準確理解問題。真正做到這兩點，這道題就很容易解答了。

教學時，筆者問，對于“無論為何值，函數的圖象總是一條直線”怎么理解？學生回答，函數形式是變量一次式或者是常數時，圖象是直線。筆者接著提問，在這個問題中，可能是一次式嗎？這是一個關于變量x的三角函數，將其轉化為一個角的一個三角函數，當它的系數為0時，該函數可能為常數。理解這一點后，解答這一問題就不是什么難事了。

概念中蘊含著數學家的思維，它對學生學會思考的訓練價值很大。概念是思維的細胞，概念清楚了，思維的基礎就有了。將概念中蘊含的數學家思維展開，并用于訓練學生，是提高學生數學能力的捷徑，也是提高高考成績的法寶。[3]

三、重視表達的規范要求，在精致表達中提升素養

現在很多學生忙于做作業，有些教師也抱著“為你好”的心態布置了不少的作業，認為只要反復訓練，就能夠“熟能生巧”，卻不重視學生解題時的規范表達。實際上數學解題是有一定規范要求的。規范的語言敘述應步驟清楚、正確、完整、詳略得當，言必有據。而有些學生只注重結論、忽視過程，還有些學生甚至隨意杜撰數學符號和數學術語，導致問題解決出現不該有的失誤。

對于學生規范表達習慣的培養，教師一定要給予重視。因為數學是講理的，具有邏輯嚴謹性。表達能力有口頭表達和書面表達，這兩種表達方式各有優勢，比較而言，口頭表達往往有“滑過”的現象，書面表達則不同，必須經得住推敲，書面表達影響更大一些。江蘇省特級教師馮衛東在《為“真學”而教》一書中說：“寫作是最好的學習。囿于我的經驗，想不出還有什么方法、途徑比寫作更能豐富個人的內涵，砥礪個人的思想，增長個人的智慧，提升個人的品位。”“沒有寫作也無以發生深度的學習：不管在哪種意義上，寫作都是最好的學習。”[4]數學寫作也是最好的數學學習方式之一。

數學寫作水平是學生多種能力的體現。從開始將思考的問題、研究的結論等羅列出來到能夠有條理地表達，需要下一番功夫。這主要由數學寫作的特性所決定。

數學寫作是數學思維能力的外在表現形式。一個人的數學思維能力如何，是通過口頭交流與書面表達來呈現的。即使是口頭交流，除了即興發言（也要先打腹稿），正式的交流都需要先寫出文稿來，可見書面表達是多么的重要。學生的數學思維能力（特別是邏輯推理能力）體現在數學寫作上，就是要做到言而有據。

數學寫作是需要來源的，也就是數學寫作不可能憑空杜撰，必須和反思、探究、實踐等創造性的思維活動相結合。這些動手、動腦的活動為數學寫作提供了材料，而數學寫作為呈現這些數學活動提供了平臺。

數學寫作能夠改善學生的情感。數學寫作一方面能夠將中學生欲說的話表達出來，體現其學習的心理狀態和學習能力，另一方面還能夠起到情感宣泄、交流溝通等作用。有利于改善中學生的心理狀態，培養積極的情感，提高他們學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力。

核心素養的培育倡導學科融合，“數學寫作”的實驗恰恰體現了這種融合。數學寫作使學生學會了字斟句酌、學會了精致表達，核心素養潛移默化地得到了提升。數學寫作是新課程落實培育學生數學核心素養的有力抓手。[5]

教師要循序漸進地培養學生的數學寫作能力，可以指導學生寫解題的思維過程，表達“怎么想到的”“為什么這么做”;可以寫問題的不同解法，也就是一題多解，表達學生思維的不同角度;還可以指導學生開展數學實驗或者數學建模活動，將過程記錄下來;等等。

綜上，教師需要認真設計教學流程，抓住合適的教學契機，布置恰當的實踐活動，使學生在問題解決中反思、感悟，同時開展數學寫作活動，在寫作的過程中，學生就會不斷反思、推敲，促進學科素養的生成。

【參考文獻】

[1]朱富海.中小學階段的家庭教育[J].教育研究與評論，2018（6）：5-10.

[2]王尚志，胡鳳娟.基于數學核心素養的教學要點[J].上海課程教學研究，2017（4）：3-8.

[3]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017：736.

[4]馮衛東.寫作是最好的學習——以新著《為“真學”而教》為例[J].教育視界，2017（13）：47-50.

[5]徐永忠.基于培養數學核心素養的高中生數學寫作的實踐與思考[J].中學數學教學參考，2018（5）：64-68.