四則運算法則在極限運算中的應用探究

李波 劉乃偉 侯汝臣 王廣富

摘要：文章通過對極限運算過程中經常出現的一些錯誤進行分析，發現大多都是因為對極限四則運算法則條件的忽略或理解不到位所致，通過例題解析分析這些錯誤的根源及其與四則運算法則條件的關聯。

關鍵詞：極限運算;四則運算法則;復合運算法則

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）50-0213-02

一、引言

極限是高等數學微積分理論的基礎，是學習微積分的重要工具，熟練掌握極限的計算方法和技巧是后續課程學習的必要基礎。關于極限運算的法則歸納起來主要有兩個：四則運算法則、復合函數運算法則，另外還有很多關于極限計算的方法，如無窮小的相關性質、等價無窮小量代換、迫斂準則、洛必達法則、兩個重要極限的應用等。在這些法則和方法中，四則運算法則最簡單，最容易理解，也最容易被忽視。在教學過程中，我們發現學生做極限計算題時經常會出現一些低級的錯誤或者模棱兩可。比如，極限運算中哪一部分函數可以運用連續函數的性質直接代入值計算，哪些又不可以;又如，等價無窮小量代換時，什么時候可以代換，什么情況下不能代換。很多情況下，學生會被告知或自己總結出某種規律，比如乘除、加減等，以方便計算極限時按模式套入應用，但這種方法缺乏嚴謹性，總有其本質原因。經仔細分析發現，出現這些錯誤的根本是忽略了四則運算法則的應用條件及其適用范圍。如果我們計算極限時更嚴謹一些，仔細分析每一步計算的因果關系，這些錯誤是完全可以避免的，也不用死記硬背一些所謂的模式或套路。

二、四則運算法則及其條件分析

首先我們分別給出數列和函數極限的四則運算法則。

（一）數列極限的四則運算法則

對于應用四則運算法則計算極限，有兩個前提條件是必須要引起重視的：一是極限的存在性，二是項數的有限性。也就是說，必須事先確保每一部分的極限都存在，這樣才能對相應的數列或函數的極限運算運用四則運算法則，而且參與四則運算的數列或函數必須為有限項。事實上，從后來的級數理論我們知道，對于無窮多項和極限，是否能將極限運算與無窮多項和的運算互換要用到函數的一致收斂性，這一點是非常關鍵的，不能做簡單的推廣。

三、例題解析

我們對一些經典的極限運算題目進行解答分析，在此過程中，可以發現四則運算法則是如何被應用的，如果某些重要的前提條件被忽視會發生怎樣的錯誤。

【解析】本題為數列的極限計算題，為n項和的極限，每一項的極限均為0。但需要注意的是，當n→∞時，數列和式的項數也趨于無窮大，四則運算法則的條件是不適用的。如果錯誤的運用四則運算法則，按如下方法計算：

結論顯然就錯了。本題正確的做法可以采用夾逼準則，其正確結果應為1。

本題也是忽略了兩個函數商的極限運算法則的條件，即分母函數的極限不能為0。因此，第二步就已經錯了，不能運用法則。正確的方法應是運用無窮小量與無窮大量的關系：無窮小（非零）的倒數是無窮大，分母的函數（x-2） 在x→1的過程中為無窮小量，分子的極限為非零常數，故極限為無窮大量。

要弄清這個問題，我們需要確定兩個關鍵條件：一是等價無窮小量代換的條件，二是四則運算法則應用的前提條件。關于無窮小量代換，定理中要求是相乘或相除的兩個無窮小量可以進行代換，或者是對無窮小量整體進行代換，而此處是減法運算，顯然不滿足條件。另外，由于分母極限為零，商的運算法則不成立，極限運算無法直接整體作用于sinx和tanx。如果將分母函數改為極限不為零，假設為cosx，則可應用四則運算法則做如下計算：

能否做等價無窮小量代換，關鍵要看極限運算能否直接作用于該函數，而能否直接作用于該函數，四則運算法則的應用條件又是關鍵。

四、結語

四則運算法則是極限運算的一個重要法則，但由于簡單易懂，在做極限運算題目時往往被忽略，不被重視，進而導致出現很多與之相關聯的錯誤的發生。事實上，絕大多數的極限計算題目都會用到該法則，如果在做題的過程中稍微關注并考慮下四則運算法則的條件是否滿足，對很多概念的理解和做題過程中出現的模棱兩可的問題就會變得清晰，錯誤也就可以避免了。

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