初中數學分類討論思想在解題中的應用

■甘肅省張掖市民樂縣第四中學 費博學

一、初中數學解題中分類討論思想的重要作用

在數學解題的過程中，分類討論思想可以看作是一種邏輯劃分思想，因此，在對分類討論思想進行應用的過程中，教師應該引導學生建立起化整為零的思考方式，并在此基礎上讓其對學習的知識和遇到的習題進行總結，通過這樣的方式更好地認清習題和知識的內在聯系，最終達到扎實地掌握知識并靈活進行運用的目標。除了有效提升初中數學教學質量之外，通過引導學生學習和掌握分類討論思想，可以幫助學生在面對各種問題的時候更加清晰有序地進行思考，不但可以更好地提升學生的解題準確度，也可以大幅度提升學生的解題效率。學生在不斷對問題進行分析和總結的過程中，領會到數學學習的樂趣所在，這對于提升學生的學習積極性和培養學生自主學習的習慣是非常有幫助的。在初中數學的解題過程中，引導學生應用分類討論的思想進行解題是非常有必要的。

二、初中數學中分類討論思想的應用原則

（一）互斥性原則

在應用分類討論思想的過程中，互斥性原則一直是最基礎也是最核心的原則之一。在對目標進行分類的過程中，互斥性原則指的是分類之中的各個子項應該保持相互排斥的原則，不能存在某一因素既可以屬于這個子項，又可以屬于另外一個或者幾個子項的情況。例如在學校開展聯歡會的過程中，A班有16名學生參加了唱歌、舞蹈以及小品演出，參加唱歌演出的學生共有8人，參加舞蹈演出的學生共有5人，參加小品演出的學生共有4人，在這種情況下，如果單純將17人分別劃分為參加唱歌、舞蹈和小品演出的學生，則會出現邏輯上的錯誤。為此，學生在應用分類討論思想進行解題的過程中，需要充分遵守互斥性原則，避免出現上述的分類錯誤問題，從而更好地發揮出分類討論思想的重要作用。

（二）相稱性原則

除了互斥性原則之外，相稱性原則也是學生在應用分類討論思想的過程中需要遵守的核心原則之一。相較于互斥性原則，相稱性原則更難以被學生所理解，因此需要教師對學生進行一定的幫助和引導。在對目標對象進行分類的時候，學生需要更好地對目標對象的主次進行分析，確保其不存在遺漏或者疊加等問題。例如在初中數學中學習三角形的過程中，學生可以將三角形分為等腰三角形、直角三角形以等，在對其分類的過程中，學生要時刻遵循相稱性原則，只有保證其分類子項的并集與母項的子集相稱，才可以保證分類過程中不存在問題，以此為發揮分類討論思想的作用打下良好的基礎。

三、初中數學解題中分類討論思想的應用步驟

（一）全面了解題目

在應用分類討論思想進行解題的過程中，學生首先需要對題目進行全面了解。在目前的解題過程中，很多學生只是簡單地閱讀了題目便開始采用分類討論方法進行解題，這使學生經常在解題過程中產生思維混亂，進而導致學生解題困難或者解題出錯。為了更好地保證解題效率和準確性，學生應該全面對題目進行解讀，了解題目特點后再應用分類討論思想進行解題。

（二）確定分類標準

在對題目進行解讀之后，應用分類討論思想進行解題之前，學生還需要對分類討論的分類標準進行確定。通過設定分類標準并按標準進行分類，才可以更加全面準確地進行解題。例如在題目IaI=7，IbI=10，求a+b=？這一問題中，學生需要將a和b分別列為一類，從而進行分類組合求解。

（三）逐一進行討論

在完成上述步驟后，學生便可以開始應用分類討論思想進行解題了，在解題的過程中，為了更好地避免出現遺漏或者錯誤的情況，學生應該嚴格按照分類情況逐一進行討論，通過這樣的方式可以更好地保證解題的效率以及準確性。在完成解題之后，學生還需要養成對答案進行檢查的好習慣，通過這樣的方式更好地提升數學習題的解答質量。

四、分類討論思想在初中數學解題中的運用

（一）分類討論思想在應用題中的運用

例題：某學具店在舉行促銷活動，其中鋼筆的原價是20元一支，筆記本的價格為4元一本。學具店為了更好地提升活動效果，給消費者提供了兩種優惠方案，方案一為購買鋼筆和筆記本可以享受9折優惠，方案二為買一支鋼筆贈送一本筆記本。王老師想要購買20支鋼筆和若干本筆記本，在只能選擇一種優惠方式的情況下，應該如何進行購買？

在初中數學的學習過程中，上述問題是一種非常常見的應用題類型，很多學生在第一次面對類似問題時，會由于題目中沒有給出王老師具體想要購買的筆記本數量而陷入茫然，導致自身失去解題思路和方法。在面對這樣的問題時，通過應用分類討論的思想可以很好地對其進行解決，教師只需要引導學生對王老師需要購買的筆記本數量進行分類，并根據不同的情況分別進行計算，即可非常輕松地對這類問題進行解決。

解法：首先，設王老師需要購買的筆記本數量為x，方案一價格為y1，方案二價格為y2。

方案一：y1=（20×20+4x）×90%=360+3.6x元

方案二：y2=20×20+（x-20）×4=320+4x元

由此可得方案一與方案二之間差價y=y1-y2=40-0.4x

因此，在y=40-0.4x＞0，也就是x＜100的情況下，選擇方案二更好，在y=40-0.4x＜0，也就是x＞100的情況下，選擇方案一更好，在y=40-0.4x=0，也就是x=100的情況下，方案一與方案二價格相同。

（二）分類討論思想在三角形問題中的應用

在初中數學學習的過程中，三角形的相關問題一直是學生學習過程中的重點也是難點。為了更好地提升三角形問題的解題速度和精確性，同時提升學生對于三角形相關問題的掌握能力。教師需要引導學生應用分類討論思想分析問題，以此更好地提升學生對該部分知識的掌握程度和應用能力。

例題：已知一直角三角形的兩邊長度分別為30cm和40cm，求該三角形的第三邊長。

在進行這道例題的講解過程中，教師應該引導學生將分類討論的思想應用在題目之中，從而將問題分類為30cm、40cm的兩條邊為兩條直角邊，或者30cm、40cm分別對應直角邊和斜邊這兩種情況。通過這樣的分類可以更好地幫助學生認識到兩種情況的不同區別，并針對性地對其進行求解。通過這樣的解題思路，學生的邏輯能力可以得到非常大的提升，同時也可以加深學生對初中幾何知識的學習興趣和掌握熟練度，這對于提升初中數學的教學質量有著非常大的幫助。

（三）分類討論思想在圓中的應用

在初中幾何學習的過程中，三角形和圓一直是學生較難掌握的學習內容之一。在進行圓相關的問題解題過程中，通過應用分類討論思想，可以更好地讓學生認識到問題的核心所在，并在此基礎上根據不同的分類情況針對性地進行解題，這可以在很大程度上提升學生的解題效率和準確度。

例題：半徑分別為40cm和60cm的兩個圓處于相切的狀態，兩個圓的圓心距離是多少。

在對這個問題進行解答的過程中，學生非常容易產生先入為主的思想，進而導致解題出現遺漏的情況。為了更好地避免類似問題的發生，教師可以引導學生將分類討論思想應用在解題的過程之中。首先學生需要考慮到兩圓相切共包含兩種情況，分別為兩圓內切或者兩圓外切，在題目中并沒有給出明確說明兩圓屬于內切還是外切的情況下，學生應該針對這兩種情況分別進行計算，并求出兩種情況下的圓心距離。通過應用分類討論思想，可以更好地避免學生片面地思考問題，幫助學生以一個更加全面的角度去看待問題，這樣不但對于學生解題能力的提升有著很大幫助，同樣也會為學生未來的發展打下良好的基礎。

五、結語

在數學學習和解題的過程中，分類討論思想一直是數學思維中非常重要的思維方式之一，教師通過對學生進行引導，幫助其掌握分類討論思想，可以讓學生更加直觀地了解到各種數學題目之中問題的核心，從而讓學生快速地掌握這一類型問題的解題思路。在這樣的情況下，對于提升學生的解題效率和精準度都有著非常大的幫助。除此之外，應用分類討論思想進行解題還可以更好地活躍學生的思維，通過這樣的形式讓學生可以靈活地應用數學知識解決各種問題，這對于培養學生的數學思維以及實際應用能力有著非常大的幫助。