新工科形勢(shì)下離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索

蘇 慶，林華智，黎展毅

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣東工業(yè)大學(xué) 材料與能源學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)[1]是計(jì)算機(jī)學(xué)科，尤其是軟件設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)類專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課。該課程不僅能奠定學(xué)生在專業(yè)學(xué)習(xí)中的理論基礎(chǔ)，還對(duì)后續(xù)各門(mén)課程的學(xué)習(xí)形成輻射和交叉，在軟件類專業(yè)系列課程中具有舉足輕重的地位。離散數(shù)學(xué)以高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等為先修課，其主要內(nèi)容包括關(guān)系論、數(shù)理邏輯、圖論、抽象代數(shù)等[2]，這些內(nèi)容是后續(xù)主干專業(yè)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析、編譯原理等的重要支撐。圖1所示為離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課與計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課程群[3]中各門(mén)后續(xù)軟件類專業(yè)課程的關(guān)系。

新工科建設(shè)[4]形勢(shì)對(duì)各軟件專業(yè)類課程包括離散數(shù)學(xué)提出明確且清晰的要求和目標(biāo)，既要令學(xué)生掌握主要的方法論理論基礎(chǔ)，又要著重培養(yǎng)學(xué)生將各種方法論應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，在離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)過(guò)程中，不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)講解與學(xué)習(xí)公式定理本身的推導(dǎo)方法和技巧，也要注重學(xué)生掌握基礎(chǔ)方法理論后的運(yùn)用，包括從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型建模的抽象過(guò)程以及求得問(wèn)題解之后的編程實(shí)施。

圖1 離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課與后續(xù)軟件類專業(yè)課程的關(guān)系

1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題

離散數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容偏于抽象數(shù)學(xué)理論，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生感覺(jué)較為枯燥和困難，教師則往往疲于講解數(shù)學(xué)理論的推導(dǎo)和證明，忽視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力培養(yǎng)。

1.1 與后續(xù)課程脫節(jié)

計(jì)算機(jī)軟件類專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課是為了將其作為學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的起點(diǎn)和工具，而非僅止于理論知識(shí)學(xué)習(xí)或研究。從目前的教學(xué)現(xiàn)狀看，該課程與后續(xù)專業(yè)課程脫節(jié)，未起到基礎(chǔ)支撐作用，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中甚至學(xué)完本門(mén)課程后不能“即學(xué)即用”“以用固學(xué)”，未能體會(huì)到離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)的重要性。一方面，這些內(nèi)容較為抽象，側(cè)重于數(shù)學(xué)理論，而且在大三或者大四的各門(mén)相關(guān)后續(xù)專業(yè)課程中才會(huì)被陸續(xù)使用到；另一方面，目前對(duì)于專業(yè)教師的授課分工也相對(duì)固定，講授離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教師可能沒(méi)有承擔(dān)過(guò)數(shù)據(jù)庫(kù)、人工智能、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等專業(yè)課的教學(xué)任務(wù)，在授課過(guò)程中未能切合實(shí)際地將離散數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容與后續(xù)專業(yè)課程中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)動(dòng)講授以及應(yīng)用。

1.2 與實(shí)踐應(yīng)用脫節(jié)

在當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐中，離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課往往被視為“純”數(shù)學(xué)課程，只安排理論講授課時(shí)，基本不安排與實(shí)踐應(yīng)用相關(guān)的實(shí)驗(yàn)、課程設(shè)計(jì)等，造成理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐應(yīng)用的脫節(jié)，學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論困難，也正因?qū)@些基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不牢固，不能熟練運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題的解決，極大地影響教學(xué)效果，更加不利于達(dá)到新工科形勢(shì)下的以實(shí)踐能力為導(dǎo)向的人才培養(yǎng)目標(biāo)。

1.3 與編程訓(xùn)練脫節(jié)

編程能力是衡量計(jì)算機(jī)軟件類專業(yè)學(xué)生素質(zhì)的重要指標(biāo)之一，需要在大一和大二低年級(jí)階段通過(guò)高強(qiáng)度持續(xù)訓(xùn)練來(lái)提高。在后續(xù)課程中，幾乎所有的學(xué)習(xí)成果包括畢業(yè)設(shè)計(jì)都要以計(jì)算機(jī)軟件的形式實(shí)現(xiàn)。目前，在大多數(shù)工科院校的教學(xué)計(jì)劃中，離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課基本不安排上機(jī)編程訓(xùn)練環(huán)節(jié)，使得學(xué)生未能通過(guò)編程訓(xùn)練的方式鞏固理論知識(shí)以及持續(xù)提高編程能力，因而在學(xué)習(xí)后續(xù)課程過(guò)程中，出現(xiàn)“眼高手低”“能設(shè)計(jì)大概的解決思路，實(shí)施起來(lái)卻細(xì)節(jié)問(wèn)題不斷”的問(wèn)題。

2 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革實(shí)踐

2.1 改革教學(xué)模式，優(yōu)化銜接教學(xué)內(nèi)容

要改革當(dāng)前形離散數(shù)學(xué)課程與后續(xù)專業(yè)課程教學(xué)完全分離的模式，對(duì)每個(gè)與后續(xù)課程有銜接的知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，教師就既要完整清晰地講授當(dāng)前知識(shí)點(diǎn)本身的內(nèi)容，又要重點(diǎn)突出銜接后續(xù)相關(guān)課程的應(yīng)用點(diǎn)，保持與后續(xù)課程的連貫性。

離散數(shù)學(xué)課程的四大部分內(nèi)容本身就呈現(xiàn)離散、可以互不為前提地進(jìn)行獨(dú)立學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，不存在最重要或者相對(duì)次要的內(nèi)容，因而要特別要求學(xué)生對(duì)各部分必須均衡掌握，并給出清晰的學(xué)習(xí)路線。離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與計(jì)算機(jī)軟件設(shè)計(jì)類主干專業(yè)課程部分重要知識(shí)點(diǎn)具有相當(dāng)強(qiáng)的相關(guān)性，如離散數(shù)學(xué)課程中的關(guān)系論內(nèi)容與數(shù)據(jù)庫(kù)中的關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)理論和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的數(shù)據(jù)關(guān)系及表示相關(guān)；數(shù)理邏輯內(nèi)容與數(shù)據(jù)庫(kù)中的謂詞優(yōu)化技術(shù)、編譯原理自動(dòng)機(jī)理論和語(yǔ)法制導(dǎo)翻譯以及人工智能中的消解原理、機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)；圖論內(nèi)容與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的哈夫曼編碼、操作系統(tǒng)中的進(jìn)程調(diào)度機(jī)制、軟件工程中的軟件生命周期、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)類型定義、算法分析與設(shè)計(jì)中的變治法以及貪婪技術(shù)相關(guān)；抽象代數(shù)內(nèi)容與編譯原理中的代碼生成與優(yōu)化技術(shù)和人工智能中的遺傳算法以及模擬退火算法相關(guān)。

圖2所示為離散數(shù)學(xué)課程中關(guān)系論內(nèi)容與數(shù)據(jù)庫(kù)課程中關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性舉例。教師在講授離散數(shù)學(xué)課程中“關(guān)系”的定義時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從關(guān)系的定義拓展至關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的定義，它們共同的基礎(chǔ)是卡氏積定義，互相銜接的內(nèi)容是二元關(guān)系和多元關(guān)系，令學(xué)生立即體驗(yàn)到關(guān)系論是與后續(xù)課程數(shù)據(jù)庫(kù)直接相關(guān)的，提高學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的重要性把握以及學(xué)習(xí)興趣。

圖2 關(guān)系論與關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的聯(lián)系

另外，注意促進(jìn)離散數(shù)學(xué)課程任課教師與后續(xù)專業(yè)主干課任課教師的互動(dòng)交流，從后者的教學(xué)實(shí)踐中獲得反饋，針對(duì)專業(yè)課內(nèi)容中學(xué)生由于基礎(chǔ)不牢固導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難的知識(shí)點(diǎn)，反推至相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)在基礎(chǔ)課中的教學(xué)情況，改進(jìn)教學(xué)。在條件具備的情況下，應(yīng)當(dāng)推動(dòng)專業(yè)任課教師的崗位輪動(dòng)，更好地讓教師把握基礎(chǔ)課與后續(xù)課程的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，共同改善基礎(chǔ)課和后續(xù)專業(yè)課的教學(xué)效果。

2.2 建立上機(jī)題庫(kù)，持續(xù)訓(xùn)練編程能力

離散數(shù)學(xué)輔助學(xué)習(xí)平臺(tái)[5]可以幫助學(xué)生更牢固地掌握離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)，如廣東工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院研發(fā)的編程實(shí)驗(yàn)可視化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)AnyviewC[6]。以AnyviewC為依托，學(xué)校課程組建立離散數(shù)學(xué)課程上機(jī)作業(yè)題庫(kù)，包括基礎(chǔ)課各大部分內(nèi)容，題目?jī)?nèi)容均為重點(diǎn)概念、數(shù)學(xué)理論的編程實(shí)現(xiàn)。該題庫(kù)一方面可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解和運(yùn)用；另一方面可以與C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)前后銜接，持續(xù)鍛煉學(xué)生的編程能力，為后續(xù)軟件設(shè)計(jì)類專業(yè)課程打下牢固的基礎(chǔ)。

在AnyviewC的教師端，教師可以實(shí)時(shí)查看所帶班級(jí)的整體做題情況，也可以查看個(gè)別學(xué)生當(dāng)前的做題情況，在必要時(shí)，可以對(duì)學(xué)生程序進(jìn)行跟蹤調(diào)試、評(píng)分以及給予評(píng)語(yǔ)評(píng)價(jià)。AnyviewC的學(xué)生端提供豐富的程序調(diào)試方式，包括單行運(yùn)行（不進(jìn)入函數(shù)）、單行運(yùn)行（進(jìn)入函數(shù)）、單步運(yùn)行、運(yùn)行測(cè)試等；提供函數(shù)運(yùn)行過(guò)程中實(shí)行參數(shù)和局部變量的實(shí)時(shí)可視化圖形表示，包括一般變量、指針型變量分別在棧和堆中的圖形化直觀表示，如圖3所示。

圖3 AnyviewC學(xué)生端的局部變量可視化表示

AnyviewC作業(yè)平臺(tái)執(zhí)行嚴(yán)格的題目測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，每次程序運(yùn)行所使用的測(cè)試數(shù)據(jù)（用例）都是隨機(jī)生成的，最大限度地杜絕學(xué)生使用硬編碼試圖通過(guò)題目測(cè)試的可能，而且對(duì)每一道題目，AnyviewC會(huì)嚴(yán)格比對(duì)學(xué)生程序的結(jié)果與系統(tǒng)程序運(yùn)行的結(jié)果。只有學(xué)生程序?qū)λ袦y(cè)試數(shù)據(jù)都得到與系統(tǒng)程序完全一致的輸出，方可視為通過(guò)該題目的測(cè)試。

本離散數(shù)學(xué)上機(jī)編程題庫(kù)一直處于邊使用邊完善的狀態(tài)，具有以下特點(diǎn)。

（1）題庫(kù)內(nèi)容包括關(guān)系論、數(shù)理邏輯、圖論和抽象代數(shù)四大部分，包括各個(gè)重要定義、理論和方法。該題庫(kù)已經(jīng)在廣東工業(yè)大學(xué)校內(nèi)計(jì)算機(jī)學(xué)院、信息工程學(xué)院、自動(dòng)化學(xué)院、物理與光電學(xué)院、國(guó)際教育學(xué)院等工科學(xué)院以及部分地方工科院校等較大范圍使用，師生反饋效果良好。

（2）優(yōu)化設(shè)計(jì)各種難度的題目，豐富題目類型。將題庫(kù)中的題目難度進(jìn)行細(xì)分設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生由易到難、逐步掌握理論知識(shí)并用于實(shí)際問(wèn)題求解。題目類型不僅包含函數(shù)級(jí)編程題，還會(huì)逐步增加程序填空題、改錯(cuò)題等類型。上述優(yōu)化都將會(huì)遵循學(xué)習(xí)規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

（3）保持嚴(yán)格的題目測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)。所有題目的測(cè)試數(shù)據(jù)均在程序運(yùn)行過(guò)程中實(shí)時(shí)隨機(jī)生成，降低學(xué)生的作弊可能。另外，在題目的測(cè)試過(guò)程中，學(xué)生答案程序必須對(duì)所有測(cè)試數(shù)據(jù)輸入都得到完全正確的輸出，方可視為通過(guò)該題目，力圖使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求學(xué)的習(xí)慣。

此外，AnyviewC編程實(shí)驗(yàn)可視化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的可視化能力將會(huì)得到進(jìn)一步的提升，如針對(duì)離散集合測(cè)試數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，改進(jìn)AnyviewC編程實(shí)驗(yàn)可視化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)對(duì)這類數(shù)據(jù)關(guān)系的實(shí)時(shí)可視化表達(dá)，將程序運(yùn)行過(guò)程白盒化[7]，進(jìn)一步提高程序調(diào)試的效率。

2.3 將理論結(jié)合實(shí)踐，綜合提高應(yīng)用水平

在離散數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課每一部分內(nèi)容的講授后，安排與實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，并且在整門(mén)課程的后半段視學(xué)生水平和課時(shí)數(shù)安排綜合多部分聯(lián)合應(yīng)用的稍大規(guī)模實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)的目的是一方面對(duì)學(xué)生已學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行鞏固，另一方面逐步提高學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用于解決較復(fù)雜問(wèn)題的水平。

表1列出了離散數(shù)學(xué)課程的部分設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)安排，這些設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)難易度不一，鑒于課時(shí)規(guī)模，即使不可能全部在單一學(xué)年內(nèi)使用，也可以每年輪換并且逐步優(yōu)化，降低學(xué)生積累抄襲的可能性，進(jìn)一步提升教學(xué)效果。

2.4 實(shí)施多元考核，注重編程實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)

實(shí)施書(shū)面考試、上機(jī)作業(yè)和實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)相結(jié)合的多元考核方式，令學(xué)生重視實(shí)踐環(huán)節(jié)，進(jìn)一步提升教學(xué)效果。對(duì)于計(jì)算機(jī)軟件類專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，其專業(yè)能力的高低主要體現(xiàn)于軟件設(shè)計(jì)成果的好壞，因此平時(shí)的編程實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)應(yīng)當(dāng)在期末成績(jī)中占有較大的比重。在改革過(guò)程中，分兩部逐步實(shí)施多元考核。

表1 分設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)安排

（1）平時(shí)成績(jī)的核定以上機(jī)作業(yè)和設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)完成情況為主要依據(jù)。一方面，對(duì)于個(gè)別學(xué)生，充分使用AnyviewC網(wǎng)上作業(yè)系統(tǒng)的教師點(diǎn)評(píng)功能，增加抽查互動(dòng)環(huán)節(jié)并提高互動(dòng)效率；另一方面，對(duì)全部學(xué)生的做題情況進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)，評(píng)估整體學(xué)習(xí)進(jìn)度以及重點(diǎn)、難點(diǎn)攻關(guān)情況。

（2）將平時(shí)成績(jī)占期末總評(píng)成績(jī)的比重至少提高至50%，在條件允許時(shí)，期末考試采用上機(jī)考試的形式。在確保題目難度和覆蓋面一致的情況下，對(duì)考試題目進(jìn)行隨機(jī)抽取，動(dòng)態(tài)生成考試試卷。

3 改革實(shí)施成果

上述改革措施在廣東工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院連續(xù)實(shí)施4個(gè)學(xué)年，改革方案的實(shí)施也獲得國(guó)家留學(xué)基金委及廣東省科研和教學(xué)改革項(xiàng)目的支持，取得較為明顯的教學(xué)成果，使得部分學(xué)生扭轉(zhuǎn)了離散數(shù)學(xué)課程與實(shí)踐應(yīng)用聯(lián)系不大的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，整體提升了計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)的教學(xué)質(zhì)量，響應(yīng)了新工科的建設(shè)要求。

1）逐步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)整體方向的把握。

在離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中強(qiáng)調(diào)該基礎(chǔ)課程與后續(xù)課程的聯(lián)系之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)課程內(nèi)容的興趣度增大，并且對(duì)該基礎(chǔ)課程的重要性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。從考試成績(jī)看，平均分和最高分段人數(shù)都有所提升，同時(shí)不及格人數(shù)有所下降。更為重要的是，不少學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到較好的訓(xùn)練，奠定了在各級(jí)ACM競(jìng)賽、機(jī)器人競(jìng)賽中獲得良好成績(jī)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2） 持續(xù)鍛煉學(xué)生的軟件編程能力。

在計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)中，編程能力始終是衡量學(xué)生專業(yè)素質(zhì)高低的重要考量指標(biāo)。在計(jì)算機(jī)軟件主干課程設(shè)置中，離散數(shù)學(xué)課程位于程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言課程之后、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程之前。在離散數(shù)學(xué)中設(shè)置上機(jī)編程實(shí)踐環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生充分鞏固程序設(shè)計(jì)基本功，為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的專業(yè)教師反饋，由于近兩年學(xué)生的編程基礎(chǔ)較為牢固，因此在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的初始階段無(wú)需再耗時(shí)復(fù)習(xí)程序設(shè)計(jì)課程的內(nèi)容，課程內(nèi)容的編排得到了進(jìn)一步優(yōu)化。

4 結(jié) 語(yǔ)

以廣東工業(yè)大學(xué)為例，該校是目前廣東省本科招生規(guī)模最大的本科高等院校，既肩負(fù)保證高考錄取率的任務(wù)，又承擔(dān)著向社會(huì)各行各業(yè)輸送具備相當(dāng)實(shí)踐應(yīng)用能力、可快速上手工作的畢業(yè)生的任務(wù)。在學(xué)校的計(jì)算機(jī)、自動(dòng)化、信息、數(shù)學(xué)、物理、機(jī)電等學(xué)院中，每年需要學(xué)習(xí)軟件類專業(yè)課程的學(xué)生超過(guò)4 000人，這就要求在工科院校的教學(xué)過(guò)程中要精講多練，多培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

實(shí)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課與后續(xù)課程的組合銜接優(yōu)化，其意義并不限于計(jì)算機(jī)大類專業(yè)的本科教學(xué)質(zhì)量提升，還在于可以提供電子電氣信息大類與計(jì)算機(jī)技術(shù)相關(guān)專業(yè)基礎(chǔ)課程及實(shí)驗(yàn)的教學(xué)改革借鑒，更可以為理工科更大范圍的程序設(shè)計(jì)公共課提供優(yōu)質(zhì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)資源共享。在接下來(lái)的階段，需要進(jìn)一步完善和豐富教學(xué)手段，鞏固改革成果，將改革的經(jīng)驗(yàn)逐步推廣至兄弟院校。