KM教學法在離散數學中的應用

田 毅，賈永旺

（內蒙古工業大學 數據科學與應用學院，內蒙古 呼和浩特 010051）

0 引 言

離散數學是大學計算機相關專業的一門重要課程，主要研究離散量的結構和相互間的關系,包括數理邏輯、集合論、代數系統、組合數學、圖論、初等數論、離散建模學等內容，所涉及的概念、定理、法則和方法在軟件工程、數據結構、編譯原理、計算機網絡、計算機圖形學、數據庫原理、人工智能等諸多課程中都有應用，為學習計算機科學與技術的后續課程奠定理論基礎，對培養學生計算機思維、分析問題和解決問題的能力起著重要作用。從某種程度上說，學好離散數學就等于開啟計算機科學與技術領域的大門。

1 離散數學課程教學現狀

目前多數高校采用傳統的多媒體或板書授課方式講解離散數學課程，課堂上教師重點考慮的是自己的“講述”，往往忽略學生對知識的感知、消化和吸收這個過程。在這種教學模式下，許多學生覺得離散數學就是一門平常數學課，定義多、定理多、概念抽象、理論性強、枯燥乏味，課上聽不懂，課下不會做題，到最后也就不聽不做了；有的學生覺得課程實用價值較小，在日常生活或其他課程的學習中很少用到，因而學習積極性也不高，久而久之產生厭學情緒，導致這門課程的教學效果往往不理想。

以內蒙古工業大學數據科學與應用學院的信息與計算科學專業為例，該課程安排在大學一年級第一學期，共56學時，選用的教材是高等教育出版社屈婉玲、耿素云和張立昂出版的《離散數學》第1版[1]以及配套參考書《離散數學學習指導與習題解析》。要在56學時內講完書中19章的內容是不現實的，根據本專業其他課程開設時間和內容以及專業的培養目標，第11章（格與布爾代數）、第18章（支配集、覆蓋集、獨立集、匹配與著色）省略不講，第10章（群與環）、第19章（初等數論）在高等代數課程中會詳細介紹，第12章（基本的組合計數公式）屬于概率論與數理統計課程中的內容。根據以上情況，教學內容學時分配為第1部分數理邏輯，24學時；第2部分集合論，20學時；第3部分代數系統，4學時；第4部分圖論，8學時。

鑒于授課過程中發現的以上問題，我們應采取有效措施進行改進，盡量調動學生學習的主觀能動性，提高教學效率。KM 教學法目前已應用到C語言程序設計、數據結構、高等數學等課程[2-4]的教學中，實踐表明 KM 法可以顯著地提高學生的學習積極性和學習效率，這對于其他課程的教學改革具有很好的示范作用。

2 KM教學法的應用

KM 教學法首先是由北京科技大學的楊炳儒教授提出的，K代表的是Knowledge Logic Structure （知識邏輯結構），知識邏輯結構主要用“知識邏輯結構圖（KLSG）”表示，它給出課程知識系統的總體架構，從宏觀層面展示知識體系，使學生從總體上“著眼”教學內容，從而對知識脈絡有比較清晰的認識。M是Mind Mapping（思維導圖），思維導圖的作用是從微觀層面體現課程的知識。KM教學法的主要思想是首先建立知識的邏輯結構框架，然后逐步融入思維導圖，最后形成一個集成綜合的、逐步遞階的知識邏輯體系。

KM教學法可歸結為“抽點—連線—成網—擴展—嵌入”5個過程。以離散數學第1部分數理邏輯（命題邏輯基本概念、命題邏輯等值演算、命題邏輯的推理理論、一階邏輯基本概念、一階邏輯等值演算與推理）為例，闡述KM教學法在離散數學課程教學中的實施過程，數理邏輯內容的知識邏輯結構圖如圖1所示。

由圖1可知，數理邏輯可分為命題邏輯和一階邏輯兩部分內容，命題邏輯的內容分為基本概念、等值演算和推理理論3方面，而一階邏輯的內容也對應地分為基本概念、等值演算和推理理論3方面， KLSG讓數理邏輯的研究內容一目了然。

1）抽點。

抽點就是將教學內容按章節從特殊到一般的方式進行解析，通過分析，把每部分的定義、定理、法則、理論等抽象出來，舍去不重要的細節部分。離散數學中數理邏輯部分的抽點如下。

第1章：命題的定義、命題的符號化、否定聯結詞、析取聯結詞、合取聯結詞、蘊含聯結詞、等價聯結詞、命題公式、真值表法、重言式、矛盾式、可滿式。

第2章：等值式的定義、等值式模式、等值演算、合取范式、析取范式、極大項、極小項、主合取范式、主析取范式。

第3章：推理的定義、證明推理正確的定理、自然推理系統P、推理的3種證明方法（一般證明方法、附加前提證明法和歸謬法）。

第4章：命題的一階邏輯符號化、個體詞、謂詞、量詞。

第5章：一階邏輯等值式的定義、一階邏輯中的基本等值式、前束范式、一階邏輯推理的形式結構、推理定律、一階邏輯推理系統 。

2）連線。

連線即分析第1步抽點得到的定義、定理、法則和理論之間的內在聯系，將其有機地串聯形成“知識鏈”，原則是從“局部到整體”，從某個概念或例子開始，按照認識事物的一般規律，由表及里，由外向內，把抽點及抽點相關的內容有機聯接起來，從而形成一個整體的、具有邏輯關系的知識鏈。

以命題邏輯的基本概念為例，其知識鏈為：首先通過實例引入“命題的定義”；其次談命題的分類，命題可分為簡單命題和復合命題，簡單命題可以由小寫英文字母表示，而復合命題符號化的時候，可分解為簡單命題和聯結詞兩部分，聯結詞的符號化又可以引入5種聯結詞的定義及符號化，這樣，任意一個命題都可以符號化為命題公式；最后，由賦值的定義引入命題公式真值表的概念，由真值表最后一列的情況引出重言式、矛盾式、可滿式的概念。這樣就把第1步抽點得到的各“點”有機串接在一起，從而形成一個知識鏈即思維導圖，如圖2所示。

3）成網。

成網即分析并且將第2步連線中的各知識點橫向、縱向地聯系起來，從而形成一個知識網，數理邏輯部分1、2、3章形成的知識網如圖3所示。

4）擴展。

擴展即以第2步、第3步得到的知識鏈和知識網為基礎，本著由淺入深、由簡到繁、由特殊到一般的知識的學習規律，教師沿著脈絡詳細地講授各部分的難點和重點，并且依據實際需要補充一些相關內容，如在第1章，教師講完5種聯結詞的定義及符號化后，還可以擴展到“或非聯結詞”和“與非聯結詞”的內容；講完第2章命題的等值演算后，還可以再講“可滿足行問題與消解法”。擴展步驟一方面可以開闊學生的眼界，另一方面可以讓教學保持上升態勢。

5）嵌入。

圖3 數理邏輯部分1、2、3章形成的知識網

無論是知識鏈還是知識網，都是思維導圖。在講授數理邏輯內容時，教師可以適時地將這些思維導圖導入圖1的知識邏輯結構圖中，以便學生形成知識學習的“薄—厚—薄”3個過程。知識的邏輯結構圖僅是內容架構，是簡單的；把思維導圖逐步導入KLSG圖中后，內容就變厚了；經過比較、總結和歸納，知識會再次變薄，再和最初的KLSG進行比對、融合。經過這個過程，學生對知識的整體、局部及脈絡都會有較深刻的認識。

3 結 語

以內蒙古工業大學數據科學與應用學院的信息與計算科學專業為例，信計17—1、2班采用KM教學法講授離散數學這門課程，學生普遍反映對課程知識的輪廓、脈絡掌握得比較清晰，在期末考試前，依照各章節的“知識邏輯結構圖”和“思維導圖”很輕松地進行復習，考試取得了良好成績，及格率在90%以上；而信計17—3、4班采用普通教學法講授這門課程，教學效果明顯不如信計17—1、2班，由此也可以看出KM教學法可有效地提高教學效率。