高等數(shù)學在建筑學中應用探究

洪小飛

河南省新鄭市中華北路鄭州工業(yè)應用技術(shù)學院 河南 新鄭 451100

數(shù)學與建筑學的結(jié)合使建筑更完美。幾千年來,數(shù)學一直是用于設計和建造的一個很寶貴的工具。它一直是建筑設計思想的一種來源,也是建筑師用來得以排除建筑上的試錯技術(shù)的手段。

下面我們列出一部分長期以來用在建筑上的數(shù)學概念：如,角錐、棱柱、黃金矩形、視錯覺、立方體、多面體、網(wǎng)格球頂、三角形、畢達哥拉斯定理、正方形、矩形、平行四邊形、圓,半圓、球,半球、多邊形、角、對稱、拋物線、懸鏈線、雙曲拋物面、比例、弧、重心、螺線、螺旋線所、橢圓、鑲嵌圖案、透視等等。而這些概念在建筑中隨處可見,運用得如此之深之廣泛,讓人驚嘆。

影響一個結(jié)構(gòu)的設計的有它的周圍環(huán)境、材料的可得性和類型,以及建筑師所能依靠的想像力,智慧,還有數(shù)學能力。而回望過去,歷史上不乏很多體現(xiàn)數(shù)學光芒的例子,下面列舉一些,而這些也只是其中很少很少的一部分。①為建造埃及、墨西哥和尤卡坦的金字塔而計算石塊的大小、形狀、數(shù)量和排列的工作,依靠的是有關直角三角形、正方形、畢達哥拉斯定理、體積和估計的知識。②秘魯古跡馬丘比丘的設計的規(guī)則性,沒有幾何計劃是不可能的。③希臘雅典的巴臺農(nóng)神廟的構(gòu)造依靠的是利用黃金矩形、視錯覺、精密測量和將標準尺寸的柱子切割成呈精確規(guī)格(永遠使直徑成為高度的1/3)的比例知識。④埃皮扎夫羅斯古劇場的布局和位置的幾何精確性經(jīng)過專門計算,以提高音響效果,并使觀眾的視域達到最大。⑤圓、半圓、半球和拱頂?shù)膭?chuàng)新用法成了羅馬建筑師引進并加以完善的主要數(shù)學思想。⑥拜占庭時期的建筑師將正方形、圓、立方體和半球的概念與拱頂漂亮地結(jié)合在一起,就像君士坦丁堡的圣索菲亞教堂中所用的那樣。⑦哥特式教堂的建筑師用數(shù)學確定重心,以構(gòu)成一個可調(diào)整的幾何設計,使拱頂匯于一點,將石結(jié)構(gòu)的巨大重量引回地面,而不是橫向引出。⑧文藝復興時期的石結(jié)構(gòu)顯示出對稱方面的精心設計,它是依靠明和暗、實和虛來實現(xiàn)的。

數(shù)學與建筑學本身就是美的。羅素說過,數(shù)學“不僅擁有真理而且擁有至高無上的美——一種冷峻嚴肅的美,就像一尊雕塑……它可以達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地”。數(shù)學的美是抽象的、簡潔的和內(nèi)在的。數(shù)學的美對藝術(shù)的美有一種永恒的激勵作用。1.黃金分割和建筑、藝術(shù)所謂黃金分割就是一條線段被分割成兩段,其中較長者正好是較短者與整個線段的比例中項。設較長一段的長度為,應有,于是有可解得。在漫長的歷史中,人們發(fā)現(xiàn)黃金分割可以反映客觀世界的某種和諧性。客觀世界中許多事物若符合黃金分割的比例,就會令人有一種賞心悅目的感覺。例如,金字塔原來高146m,底邊寬132 m,兩者之比非常接近黃金分割之比;雅典的巴特農(nóng)神廟,其正面以及柱、檐各部分的高寬比都符合黃金分割。另外,英國的圣保羅大教堂、溫莎城堡,伊拉克巴格達城門,中國長城等在建筑時都用了黃金分割。2.中岳嵩山在河南省登封市境內(nèi),雄偉挺拔。在嵩山南麓,有一個古廟,叫做嵩岳寺。寺內(nèi)有一座寶塔,名嵩岳寺塔。是我國現(xiàn)存最古老的磚砌佛塔。嵩岳寺塔的底面是正12邊形,塔身為拋物線形。在全國現(xiàn)存的占塔中,12邊形寶塔已是獨一無二,再加上拋物線形側(cè)面,就更為別致了。嵩岳寺塔建于公元523年(北魏)。塔身有15層,高約40米。第一層外形是正1 2邊形,從第二層開始改為正8邊形,底層直徑10.16米,往上各層尺寸分別按適當比例收縮,使塔的側(cè)面輪廓成為流暢的拋物線形。

另外,數(shù)學知識還廣泛運用于建筑學計算中。

(1)一元一次不等式的應用舉例：勞動生產(chǎn)率的計算,鋼筋錨固長度的確定,配料允許范圍的計算。例如：某工程的混凝土計劃每立方米用水泥320公斤,施工配料于要求的允許偏差不超過2%。問配制每一立方米混凝土水泥用量的允許范圍為多少? 需要用一元一次不等式來解。

(2)斜三角形邊、角計算的應用舉例：吊裝鋼索內(nèi)力的計算、屋架有關長度的計算、三角形地塊面積的計算。例如吊裝的鋼索內(nèi)力的計算。建筑工地上常用兩個定滑輪共同吊起一個重物。用這種方法既能把重物作上,下運動,又易于把重物向左、右移動。如果已知兩根鋼索與鉛垂線的夾角分別為30度和45度,物體的重量為1000公斤,求兩根鋼索所受的拉力用到了正弦定理。

(3)建立函數(shù)關系的舉例：梁的支座反力與梁上荷載作用位置的函數(shù)關系、吊車吊臂長度與吊臂張角的函數(shù)關系運用數(shù)學解決實際問題時,必須掌握問題中出現(xiàn)的變量的變化情況以及它們之間相互聯(lián)系和相互制約的數(shù)值對應關系,也就是需要建立函數(shù)關系。實際問題是多種多樣的,建立函數(shù)關系式也沒有一個統(tǒng)一的方法,必須具體問題具體分析。通常,先分析所給問題中的數(shù)量關系,確定自變量與因變量,并用字母把它們表示出來,再根據(jù)問題中所給的條件,運用數(shù)學,物理、力學等方面的知識,確立等量關系,從而列出函數(shù)表達式。

(4)二次函數(shù)與拋物線的應用舉例：拋物線拱的計算、梁的彎矩圖的繪制。拋物線拱的計算所謂拋物線拱,就是由拋物線弧構(gòu)成的拱,其中拋物線弧的水平長度稱為拋物線拱的跨度,常用I表示,拋物線弧的垂直高度稱為拋物線拱的矢高,常用f表示。由于拋物線拱具有力學性能好、省材料等優(yōu)點,所以廣泛地應用于土木工程中,如拋物線拱屋蓋(或屋架)、拋物線拱橋等。梁的彎矩圖的繪制在結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析中,經(jīng)常用到二次函數(shù)。

(5)函數(shù)圖形凹向判定法與函數(shù)圖形的描繪用于荷載作用下梁撓曲線的形狀分析。函數(shù)圖形的凹向這個概念,在分析鋼筋混凝土梁在荷載作用下的彎曲變形時,是個很有用的概念。當梁向上凹時,梁的軸線下部受拉,上部受壓,這時梁內(nèi)承受拉力的鋼筋就應設在梁的下部,當梁向下凹時,梁的軸線下部受壓,上部受拉,這時梁內(nèi)承受拉力的鋼筋就應設在梁的上部。

(6)最大值、最小值問題的應用舉例：制作容器的最省材料問題、圓木加工的最大承載能力問題、結(jié)構(gòu)吊裝的最大高度與最小臂長問題。在建筑工地上,有時會遇到這樣的問題：根據(jù)施工用水的需要,想創(chuàng)作一個容積一定的開口水池,問如何選擇形狀與尺寸,使所用的建筑材料最省。結(jié)構(gòu)吊裝的最大高度與最小臂長問題在建筑工地上,經(jīng)常用吊車把建筑構(gòu)件吊裝到預定的位置上去。這時會遇到下列兩個問題：(a)當?shù)踯嚨男吞栆欢?建筑構(gòu)件的尺寸一定,問能否把建筑構(gòu)件吊到預定的高度? (b)當建筑構(gòu)件的尺寸一定,吊裝的高度一定,問某種型號的吊車能否把建筑構(gòu)件吊上去。

(7)弧長的微分與曲率用于直梁彎曲程度的計算。僅僅討論了函數(shù)圖形的彎曲方向——凹向,但還不夠。例如,在外力作用下,梁會發(fā)生彎曲,彎曲到一定程度,就可能影響使用(對于吊車梁,會影響天車的往返行駛),甚至發(fā)生斷裂。因此設計梁時必須考慮梁在荷載作用下彎曲的程度。用到了曲率的計算。

(8)平面圖形面積與一些立體體積的計算舉例：圓臺體體積計算、擬柱體體積計算,拋物線牛腿形混凝土塊的體積計算。平面曲線的弧長與旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e的計算舉例：拋物線拱屋蓋的長度計算、橢圓薄殼基礎中橢圓形鋼筋的長度計算、雙曲線冷卻塔通風筒的側(cè)面積計算。這些都是定積分的應用。

高等數(shù)學教學內(nèi)容改革不僅使數(shù)學知識與各專業(yè)充分聯(lián)系起來,還可以激發(fā)學生的學習興趣,還可以提高學生學習的積極性與主動性。使看來十分枯燥的數(shù)學內(nèi)容與豐富多彩的外部世界之問架起橋梁。事實上,這種教學內(nèi)容改革的思想的滲透可以把數(shù)學知識和數(shù)學應用穿插起來,這就不僅能增強數(shù)學知識的目的性,增強學生的應用意識,而且也將在填補數(shù)學理論與應用的鴻溝上起到很大作用。