改進(jìn)點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)的策略研究

吉 蕾

(晉中學(xué)院數(shù)理學(xué)院，山西晉中030600)

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多分支中，點(diǎn)集拓?fù)涫且婚T(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，同時(shí)也是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，它的理論和方法在數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科中應(yīng)用廣泛，同時(shí)也為其他一些相關(guān)學(xué)科提供了研究方法和語(yǔ)言。點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)有助于構(gòu)建學(xué)生的學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究近代數(shù)學(xué)奠定必要的基礎(chǔ)。作為一門(mén)理論性較強(qiáng)的學(xué)科，點(diǎn)集拓?fù)鋬?nèi)容抽象難懂，學(xué)生普遍反映這門(mén)課程概念難以理解，內(nèi)容枯燥乏味，方法不易掌握。加上近年來(lái)由于教學(xué)計(jì)劃和課程體系不斷改進(jìn)，其課時(shí)數(shù)也在逐漸減少。因此如何在課堂上充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，如何讓學(xué)生掌握該課程的理論與方法，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，是我們亟待解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。本文從教學(xué)存在的問(wèn)題出發(fā)，針對(duì)我校點(diǎn)集拓?fù)涞膶?shí)際教學(xué)情況，提出了幾點(diǎn)改進(jìn)意見(jiàn)。

1 點(diǎn)集拓?fù)涞慕虒W(xué)現(xiàn)狀

點(diǎn)集拓?fù)涫窃趯W(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和能力之后開(kāi)設(shè)的一門(mén)理論性較強(qiáng)的課程，一般安排在大三第二學(xué)期或大四第一學(xué)期開(kāi)設(shè)，它和數(shù)學(xué)系本科專業(yè)的其他課程不同，基本沒(méi)有可計(jì)算的內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)高度抽象，邏輯性較強(qiáng)。學(xué)科內(nèi)容上先介紹基本概念，然后是對(duì)相關(guān)定理、推論及證明的學(xué)習(xí)，教材舉例也較少，即使舉例也較抽象，遠(yuǎn)離實(shí)際生活。國(guó)內(nèi)大部分院校都采用講授法，基本上以教材和講解為中心，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)比較被動(dòng)，形式古板，方法單一，課堂氣氛不活躍，師生之間缺少互動(dòng)，這樣必然導(dǎo)致學(xué)生“上課抄講義，下課背講義”“考試背筆記，考后全忘記”。通過(guò)對(duì)我校學(xué)生的調(diào)查走訪，大部分學(xué)生對(duì)這門(mén)課程不感興趣，學(xué)習(xí)熱情不高。他們對(duì)課程內(nèi)容理解不深，只學(xué)會(huì)了具體的知識(shí)，并沒(méi)有系統(tǒng)掌握點(diǎn)集拓?fù)涞乃枷敕椒霸怼W(xué)生們覺(jué)得這門(mén)課程概念太抽象、難以理解，即使聽(tīng)懂了也是一知半解，對(duì)于課后題目更無(wú)從下手，有時(shí)為了應(yīng)付考試只能死記硬背，覺(jué)得學(xué)無(wú)所用，更談不上知識(shí)的應(yīng)用和能力的培養(yǎng)，教與學(xué)嚴(yán)重分離，更遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離教學(xué)目標(biāo)。

2 改進(jìn)教學(xué)現(xiàn)狀的策略研究

2.1 切實(shí)提高學(xué)科趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)點(diǎn)集拓?fù)涞呐d趣

俗話說(shuō)：“興趣是最好的老師。”學(xué)生一旦有了興趣，就會(huì)產(chǎn)生學(xué)好點(diǎn)集拓?fù)涞闹苯觿?dòng)力。首先，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師起關(guān)鍵作用。教師是課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者，教師在課堂上應(yīng)體現(xiàn)對(duì)這門(mén)課程的感情，充分體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和追求，以此感染學(xué)生。教師在課堂上若全身心投入，富有激情的講課取代照本宣科，學(xué)生就會(huì)被教師的情緒所感染，隨著問(wèn)題深入所產(chǎn)生的喜悅感油然而生，學(xué)習(xí)興趣也逐漸增強(qiáng)。其次，要以學(xué)生為主體，根據(jù)具體學(xué)情來(lái)設(shè)計(jì)課程。比如富于啟迪的“緒論課”。由于這門(mén)課程比較抽象難懂，而且“拓?fù)鋵W(xué)”這個(gè)詞學(xué)生之前雖然聽(tīng)過(guò)但并不了解，所以，一開(kāi)始并不要急于介紹課本上的理論知識(shí)，而應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，上一堂富于啟迪的“緒論課”，可起到事半功倍的效果。緒論課上，通過(guò)幾個(gè)有趣的例子，比如一筆畫(huà)、哥尼斯堡七橋問(wèn)題、四色猜想、Euler數(shù)[1]等，讓學(xué)生思考并聯(lián)系過(guò)去學(xué)過(guò)的幾何問(wèn)題，討論其不同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)分析總結(jié)這類問(wèn)題的特點(diǎn)，進(jìn)而提出這門(mén)課程的研究對(duì)象及中心任務(wù)。緊接著介紹拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷程、拓?fù)鋵W(xué)的分支學(xué)科等，通過(guò)科學(xué)史的介紹，不僅使學(xué)生了解了拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái)和發(fā)展趨勢(shì)，而且培養(yǎng)了他們的歷史意識(shí)和發(fā)展意識(shí)。以這樣的方式開(kāi)始點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，避免了恐懼心理，而且增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。

2.2 注重概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生的抽象思維能力

2.2.1 利用對(duì)比和類比法突出概念的本質(zhì)與聯(lián)系

概念是抽象思維的起點(diǎn)，點(diǎn)集拓?fù)涞拿恳粋€(gè)定理、推論、性質(zhì)都是在概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)推導(dǎo)而獲得的。所以在這門(mén)課程的教學(xué)中，應(yīng)注重概念的講解。如果直接介紹概念，學(xué)生會(huì)認(rèn)為這門(mén)課內(nèi)容空洞乏味。但若對(duì)比已有的知識(shí)來(lái)提出新概念，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到點(diǎn)集拓?fù)涞母拍畈皇翘焐贤蝗坏粝聛?lái)的，而是由于解決問(wèn)題的需要，并在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上自然而然引入的，是合情合理的。

例如，在學(xué)習(xí)度量空間之間映射在一點(diǎn)連續(xù)的定義時(shí)，我們不妨從數(shù)學(xué)分析中函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義出發(fā)，即對(duì)任意的，存在使得當(dāng)時(shí)，有經(jīng)由度量概念抽象為實(shí)數(shù)空間的球形鄰域的形式，即對(duì)于任意的存在時(shí)，便有進(jìn)而把這種形式推廣到任意兩個(gè)度量空間之間，這樣，度量空間之間映射在一點(diǎn)連續(xù)的定義自然推得，同時(shí)也易于學(xué)生的接受。

又如，可以通過(guò)對(duì)比數(shù)學(xué)分析中數(shù)列的性質(zhì)，來(lái)進(jìn)行拓?fù)淇臻g中序列的學(xué)習(xí)。通過(guò)分析共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，學(xué)生便理解了為什么在一般的拓?fù)淇臻g中需要通過(guò)開(kāi)集來(lái)刻畫(huà)映射的連續(xù)性，而不能用序列收斂的性質(zhì)，即極限來(lái)刻畫(huà)。通過(guò)這種形式，學(xué)生感受到點(diǎn)集拓?fù)渲懈拍畹男纬蛇^(guò)程，理解了它們都是從實(shí)數(shù)空間出發(fā)，通過(guò)不斷抽象而形成的，不會(huì)再覺(jué)得這些概念無(wú)中生有，理解起來(lái)也游刃有余，大大提高了學(xué)習(xí)的積極性。

2.2.2 抽象思維與形象思維相結(jié)合，充分體現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)涞膸缀涡?/p>

作草圖是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的手段和方法，在教學(xué)中為了更好地解釋所講的概念和內(nèi)容，可以用作草圖的方式來(lái)進(jìn)行講解。比如拉格朗日中值定理、定積分的定義等都可以借助直觀圖形來(lái)講解，這樣學(xué)生不僅能深刻理解和掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)抽象思維與形象思維相結(jié)合又能提高學(xué)生的邏輯思維能力。由于高度的抽象性，點(diǎn)集拓?fù)浯蟛糠指拍罨騼?nèi)容不能通過(guò)直觀圖形來(lái)描述，盡管它是一門(mén)幾何學(xué)，但是我們可以“把某個(gè)概念或內(nèi)容看作或想象成某圖形”[2]，這樣學(xué)生可以通過(guò)具體圖形來(lái)建立相關(guān)概念，同時(shí)還能克服厭學(xué)情緒，提高學(xué)習(xí)積極性。

例如在講凝聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)概念時(shí)，可以借助歐氏平面上相應(yīng)的圖形來(lái)直觀的解釋。開(kāi)集的概念可使用開(kāi)圓來(lái)作例子，講到同胚概念時(shí)可以形象地說(shuō)成是一塊橡皮泥X在不允許隔斷的情況下捏成另一塊橡皮泥 Y。同時(shí)還可借助數(shù)學(xué)軟件展現(xiàn)一些圖形，例如圓柱面、環(huán)面、Mobius帶、Klein瓶等，從而解決有些學(xué)生因缺乏空間結(jié)構(gòu)意識(shí)和空間想象力而造成的理解困難，提高了課堂效率。點(diǎn)集拓?fù)渲庇^形象的教學(xué)手段受到其課程特點(diǎn)的限制，如何使其多樣化，需要我們?cè)诰唧w教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)和發(fā)現(xiàn)。使得當(dāng)

2.2.3通過(guò)舉例深刻理解概念的本質(zhì)和內(nèi)涵

由于點(diǎn)集拓?fù)渌婕暗母拍罘浅３橄螅谥v完概念之后大多數(shù)學(xué)生只了解其內(nèi)容并沒(méi)有理解其本質(zhì)。在教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生聽(tīng)懂了所講的內(nèi)容但不會(huì)做題的現(xiàn)象，這直接影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，究其根本原因還是沒(méi)有對(duì)所講概念充分理解。例如，在介紹拓?fù)浜屯負(fù)淇臻g的概念時(shí)，如果只講定義，學(xué)生只知其然不知其所以然，教材上雖有例子但都是特殊拓?fù)淇臻g的例子，學(xué)生聽(tīng)后會(huì)感覺(jué)這個(gè)概念好像是憑空想象出來(lái)的，例子是為了澄清概念而構(gòu)造出來(lái)的。其實(shí)“拓?fù)洹笔怯啥攘靠臻g中開(kāi)集的性質(zhì)出發(fā)抽象而來(lái)的。在講完定義后舉例：設(shè)集合z={a，b，c}，令容易驗(yàn)證T1，T2都為集合 X 上的拓?fù)洌?X,T1)，(X,T2)作為拓?fù)淇臻g是不同的。通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了如何驗(yàn)證一個(gè)集合的子集族是否為這個(gè)集合的拓?fù)洌覍?duì)“拓?fù)淇臻g”這個(gè)概念有了更深刻的認(rèn)識(shí)：同一個(gè)集合，賦予不同的拓?fù)渚蜆?gòu)成不同的拓?fù)淇臻g，其開(kāi)集也就不同，所以在涉及拓?fù)淇臻g時(shí)，關(guān)鍵是拓?fù)洹?/p>

又如在講“關(guān)系”及相關(guān)概念時(shí)，學(xué)生一開(kāi)始對(duì)這種表述形式可能有些茫然，沒(méi)有真正理解其涵義，可以通過(guò)分析例題“設(shè)集合試求R(A),R-1(B)，R的值域和R的定義域[3]”來(lái)加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解。除此之外還可舉一些實(shí)際例子來(lái)解釋所講內(nèi)容，比如覆蓋魚(yú)身上的鱗片再多也是有限的，可以形象地來(lái)說(shuō)明“緊致性”這個(gè)概念。教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)呐e例不僅可以幫助學(xué)生有效地理解和掌握所學(xué)的內(nèi)容，同時(shí)還可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，保證教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。

2.3 注重課程的實(shí)用價(jià)值，高觀點(diǎn)地指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

點(diǎn)集拓?fù)涫抢砉た葡嚓P(guān)專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課，這門(mén)課程通常是內(nèi)容多、課時(shí)短。如何在有限的課時(shí)內(nèi)既讓學(xué)生學(xué)到了知識(shí)，又培養(yǎng)了能力，為其在日后工作中學(xué)有所用，是值得思考的問(wèn)題。在一般師范類院校講授點(diǎn)集拓?fù)鋾r(shí)不需要像綜合性大學(xué)，特別是重點(diǎn)大學(xué)那樣深?yuàn)W，內(nèi)容也不必很多，但是要體現(xiàn)師范的特色，即建立點(diǎn)集拓?fù)渑c中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。大部分學(xué)生包括有些老師可能會(huì)認(rèn)為點(diǎn)集拓?fù)渑c中學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有聯(lián)系，其內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中基本用不上，似乎只是為繼續(xù)深造的學(xué)生開(kāi)設(shè)的。事實(shí)上，點(diǎn)集拓?fù)涞哪承┧枷胍讶谌氲街袑W(xué)數(shù)學(xué)教材中，一些課外讀物中也會(huì)出現(xiàn)關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的通俗知識(shí)，例如中學(xué)解析幾何的一些變換本質(zhì)上是拓?fù)鋵W(xué)中的同胚；凸多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系其實(shí)是拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉示性數(shù)問(wèn)題；在原始社會(huì)古人為了捕到獵物把獵物圍在中間，只要獵物不沖出包圍圈就一定會(huì)被捕獲，其實(shí)是約當(dāng)曲線問(wèn)題，等等。所以在講授這門(mén)課程時(shí)不能只是一味地推理證明，而應(yīng)多加思考，把中學(xué)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)思想的內(nèi)容穿插在相應(yīng)的地方介紹，這樣不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且使學(xué)生能夠用較高的觀點(diǎn)來(lái)探討分析類和幾何類中的若干問(wèn)題，對(duì)日后的教學(xué)工作具有指導(dǎo)性的意義。

2.4 改革成績(jī)?cè)u(píng)定方式，注重過(guò)程性考核，全面提高學(xué)生的綜合能力

我系采取“平時(shí)成績(jī)×30%+期末成績(jī)×70%”的方式評(píng)定學(xué)生成績(jī)，且平時(shí)成績(jī)的評(píng)定隨意性較大，主要依據(jù)作業(yè)情況和出勤情況給出，基本形成期末考試定成績(jī)的局面。這就導(dǎo)致很多學(xué)生平時(shí)不加強(qiáng)學(xué)習(xí)，期末時(shí)靠死記硬背來(lái)應(yīng)付考試，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離綜合素質(zhì)培養(yǎng)的目標(biāo)和要求。因此有必要對(duì)成績(jī)?cè)u(píng)定方式加以改革，注重過(guò)程的考核，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力、素質(zhì)的全面提高。例如可以加重平時(shí)成績(jī)的比例，由30%上升為40%，考核方式也可以多樣化，除了作業(yè)完成情況和到課情況外，還可分章節(jié)設(shè)計(jì)單元測(cè)驗(yàn)，布置撰寫(xiě)小論文或課程報(bào)告，組織課堂討論(也稱課堂隨機(jī)口試)，進(jìn)行有限開(kāi)卷考試等。總之，應(yīng)從改革成績(jī)?cè)u(píng)定方式入手，注重過(guò)程的考核、能力的考核，鼓勵(lì)學(xué)生以各種方式展示自己的學(xué)識(shí)和才能，使學(xué)生把握好學(xué)習(xí)過(guò)程的每一個(gè)細(xì)節(jié)，同時(shí)作為教師，應(yīng)積極投身考試改革，不斷探索新的理論課程考核評(píng)估方式。

點(diǎn)集拓?fù)涫且婚T(mén)抽象的理論課程，如何增強(qiáng)學(xué)科趣味性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)是值得我們深入思考的問(wèn)題，這個(gè)永恒的話題，需要我們?cè)趯?shí)踐中不斷總結(jié)、豐富和完善。