一種平均矩獨立重要性指標及其拒絕抽樣方法

程蕾， 張磊剛， 雷豹， 梁祖典， 劉鵬

(中國運載火箭技術研究院, 北京 100076)

結構安全分析包含2個主要問題：可靠性分析[1]和重要性分析[2]。其中，可靠性分析意在估算結構系統的可靠度，而重要性分析則旨在考量輸入變量對結構系統輸出響應的影響程度。

重要性分析主要研究輸出不確定性向輸入不確定性的逆向分配問題，一般包含2種，即局部重要性分析和全局重要性分析。其中，局部重要性分析定義為結構系統輸出響應函數在輸入參數名義值點處的偏導數，而全局重要性分析則衡量輸入參數在其整個取值區間內對結構系統輸出不確定性的平均影響程度。一旦得知輸入變量的不確定性排序，就可以在工程優化設計中忽略低重要性參數，關注高重要性參數，從而提供有益的指導信息[3]。相對于局部靈敏度，全局靈敏度能夠反映設計變量的隨機性，而局部靈敏度則不能，因此，全局重要性分析的應用相對更廣泛[4]。當前，多種全局重要性分析方法已經發展開來，包括非參數方法[5-6]、掃描法[7]、微分法[8]、基于方差的重要性分析[9-10]、矩獨立重要性分析[11-12]和隨機森林[13]等，其中應用最為廣泛的為基于方差的重要性分析和矩獨立重要性分析。

本文重點關注設計變量對結構系統失效概率的重要性分析。Cui等[14]提出了基于失效概率的矩獨立重要性指標，王文選[15]和Zhou[16]等提出了求解矩獨立重要性指標的點估計法和稀疏網格法，Li和Lu[17]在Cui等[14]基礎上作出了改進，并證明其指標可以轉化為Sobol基于方差的重要性指標，Wei等[18]則將單層Monte Carlo方法用于Sobol指標求解中。本文在Li和Lu[17]所提指標的基礎上作出擴展，分析輸入參數的方差變化對結構系統失效概率的影響程度，即開展一種新的重要性分析方法，將輸入變量方差縮減的百分比作為一個隨機輸入變量，得到一個重要性指標函數，其平均值作為平均矩獨立重要性指標。盡管Sobol方法可以高效地計算Li和Lu[17]提出的指標，然而在計算平均矩獨立重要性指標時需要不斷重復抽樣，計算成本在工程中依然無法接受。本文引入拒絕抽樣(Rejection Sampling，RS)方法來求解所提矩獨立重要性指標函數和平均矩獨立重要性指標，該方法可通過使用Sobol方法中產生的一組樣本獲取更多的信息，不需要重復抽樣，因此大大節約了計算成本，提高了計算效率。本文所提指標的有效性以及所提方法的高效性和準確性均可通過數值、工程算例加以驗證。

1 平均矩獨立重要性指標

1.1 矩獨立重要性指標

(1)

式中：XI為一個輸入變量Xi或一組輸入變量(Xi1,Xi2,…,Xig),1≤i1≤i2≤…≤ig≤n；E[·]為期望函數。

(2)

此外，Li和Lu[17]還證明式(2)中的指標可轉化為相應的基于方差的重要性指標，即

V[E(IF|XI)]

(3)

V(E(IF|xi))=E(E2(IF|xi))-

(4)

(5)

(6)

1.2 平均矩獨立重要性測度

假定參數Xi的方差在原方差基礎上縮減的倍數為Λi，那么縮減后的方差為原始分布方差的1-Λi，可以定義如下矩獨立重要性指標：

(7)

由于矩獨立重要性指標可以轉化為基于方差的重要性指標進行求解，那么ζi可以被等效轉化為如下基于方差重要性指標函數的形式：

(8)

那么可以定義ζi在λi取值范圍內的平均值為參數Xi的平均矩獨立重要性指標τi，其定義為

τi=EΛi[ζi(λi)]

(9)

需要指出的是，給定某參數Xi的初始分布和一些λi值，可能存在不止一種分布滿足隨機變量新分布下方差為原始分布下方差的λi倍。Allaire和Willcox[19]提出了一種針對初始均勻分布和正態分布如何得到合理新分布的方法。

2 拒絕抽樣方法

RS方法可以從某給定分布產生理想分布樣本，該技術對于偽隨機樣本[20-21]和隨機樣本已經得到較好應用，本文將該方法用于失效概率函數的求解中。

步驟11) 隨機分布：根據fX|θ(x)產生一列隨機樣本xi(i=1,2,…,M)。

步驟21) 隨機分布：產生一列在[0,1]上均勻分布的樣本ui(i=1,2,…,M)。

2) 低偏差序列：ui=νi。

RS方法可以用來求解式(8)中轉化后的基于方差的重要性指標，從而得到式(9)中的平均矩獨立重要性指標，步驟如下：

步驟2在區間[0,1]上產生Λi=λi的均勻分布樣本，對給定λi，列出所有更新后的分布如下：

2) 對于正態分布N(μ,σ2)，令μ′=μ，σ′=λ1/2σ。

步驟4重復步驟3直到Λi=λi對應的所有更新后的分布分析完成，然后使用式(7)對ζi進行求解。

步驟5重復步驟4直到Λi對應的所有值分析完成，然后使用式(9)對τi進行求解。

3 算 例

3.1 數值算例——Ishigami函數

Ishigami函數被廣泛用于可靠性分析中，首先被Ishigami和Homma引入，然后被用于測試重要性和不確定性分析技術中[2，22]，可表示為

(10)

根據矩獨立重要性指標函數可以計算得到平均矩獨立重要性指標，如圖1(b)和圖2(b)所示。不難看出，若假設所有參數的不確定性均可以被消除，矩獨立重要性指標函數度量的是哪個參數的方差的可以被進一步減縮，這也是平均矩獨立重要性指標與當前矩獨立重要性指標的區別。

圖1 Sobol方法求解的Ishigami測試函數重要性指標結果Fig.1 Importance index results solved by Sobol’s method for Ishigami test function

圖2 RS方法求解的Ishigami測試函數重要性指標結果Fig.2 Importance index results solved by RS method for Ishigami test function

3.2 工程算例——屋架結構

分布參數均值變異系數q20 000N/m0.07l12m0.01AS9.82×10-4m20.06AC0.04m20.12ES1×1011N/m20.06EC2×1010N/m20.06

使用Sobol方法和RS方法分別計算的矩獨立重要性指標函數和平均矩獨立重要性指標分別如圖4和圖5所示，其調用功能函數的次數分別為5×103和21×5×103。矩獨立重要性指標函數曲線說明通過每個輸入參數是否被進一步研究取決于其本身的方差可減少程度。本算例中可以看出，通過減小任一輸入參數的方差，由于矩獨立重要性指標函數的曲線單調遞增，均可以達到降低結構系統失效概率的目的。此外，明顯可以看出，RS方法和Sobol方法所得結果的一致性。

3.3 工程算例——十桿桁架結構

考慮圖6(a)中的平面十桿桁架結構模型[23]，水平桿和豎直桿的長度和彈性模量均為L和E，每根桿的橫截面積為Ai(i=1,2,…,10)，載荷作用在節點2和節點3處。設L、E、Ai(i=1,2，…,10)和Pi(i=1,2,3)為15個相互獨立服從正態分布的隨機變量，分布參數見表2。以節點3的縱向位移不超過0.004 m為約束條件，那么結構系統的功能函數為gf=0.004-Δy，其中Δy為隱式功能函數，即Δy=Δ(Ai,L,P1,P2,P3,E)(i=1,2,…,10)。

圖4 Sobol方法求解的屋架結構模型重要性指標結果Fig.4 Importance index results solved by Sobol’s method for roof truss structure model

圖5 RS方法求解的屋架結構模型重要性指標結果Fig.5 Importance index results solved by RS method for roof truss structure model

圖6 平面十桿桁架結構模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of a planar ten-bar truss structure model

分布參數均值變異系數L1m0.05E100GPa0.05P180kN0.05P210kN0.05P310kN0.05Ai0.001m20.15

圖7 Sobol方法求解的十桿桁架結構模型重要性指標結果Fig.7 Importance index results solved by Sobol’s method for ten-bar truss structure model

圖8 RS方法求解的十桿桁架結構模型重要性指標結果Fig.8 Importance index results solved by RS method for ten-bar truss structure model

4 結 論

矩獨立重要性分析被廣泛應用于工程結構分析中，然而當前存在的指標是建立在假設輸入參數的不確定性不能被減小或消除的基礎上。實際上，輸入參數的方差/均值(或其他分布參數)的被減縮量是未知的，因此得到如下結論：

1) 輸入變量分布參數發生變化時，各個變量對應的全局矩獨立重要性指標也發生變化，而本文提出的平均矩獨立重要性指標可以衡量輸入變量分布參數變化時對輸出響應的平均影響。

2) RS方法可以使用原始全局重要性分析中的樣本，額外獲取輸入變量分布參數發生變化時的矩獨立重要性指標，從而計算得到平均矩獨立靈敏度指標。這樣在不增加額外計算成本的情況下獲取更多的信息，為研究人員進一步進行工程設計和優化提供了豐富的指導信息。