三種思維巧突破，七招方法解橢圓
——2019年全國卷Ⅲ第15題

☉山東省鄄城縣第二中學 吳 昊

羅增儒教授在寫給解題研究的同行們的共勉中提到：“誰也無法教會我們解所有的數學題，重要的是，通過有限道題的學習去領悟那種能解無限道題的數學素養.”通過一題多解，在呈現不同解法的同時，重在暴露思維過程：為什么會想到這樣解，每一個解法的“念頭”是什么，不同的解法都用到了哪些知識.多樣的思維過程與解法，引人多思，是鍛煉學生思維能力、提高綜合運用數學知識能力的絕佳載體.2019 年高考全國卷Ⅲ文、理的第15 題是有關橢圓問題，是能夠提供很好的鍛煉思維、融合知識、提升能力的好場所.

一、真題在線

【高考真題】（2019 年全國卷Ⅲ文，理15）設F1，F2為橢圓的兩個焦點，M 為C 上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M 的坐標為______.

本題給出已知橢圓的方程，以橢圓上的點與兩個焦點所構造的三角形為等腰三角形為問題背景，利用求解橢圓上的點的坐標來達到目的.由于涉及解析幾何問題，又有三角形背景，可以利用條件，通過三角函數、解析幾何、平面幾何等思維角度加以切入與破解.

二、一題多解

思維角度1.三角函數思維

方法1：（三角函數定義法）由橢圓，可知，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

方法2：（余弦定理法）由橢圓，可知a=，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

將xM=3 代入橢圓，可得（由于M 在第一象限內，負值舍去）.

思維角度2.解析幾何思維

方法3：（兩點間距離轉化法）由橢圓可知，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

設點M 的坐標為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有=1，即

由于F1（-4，0），所以有，解得x0=3.

將x0=3 代入橢圓，可得（由于y0＞0，負值舍去）.

方法4：（直線垂直關系法）由橢圓，可知，則有

設點M 的坐標為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有=1，即，MF2的中點N 的坐標為

由于F1（-4，0），F2（4，0），由三角形性質知F1N⊥MF2，則有kF1N·kMF2=-1，即=-1，整理可得y02=48-x02-8x0，則有，解得x0=3（由于x0＞0，負值舍去）.

將x0=3 代入橢圓，可得（由于y0＞0，負值舍去）.

方法5：（橢圓與圓的位置關系法）由橢圓=1，可知，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

由于F1（-4，0），所以點M 在圓（x+4）2+y2=64 上.

將y2=64-（x+4）2代入橢圓，整理可得x2+18x-63=0，解得x=3（由于x＞0，負值舍去）.

思維角度3.平面幾何思維

方法6：（面積轉化法）由橢圓，可知a=6，b=，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

設點M 的坐標為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有S△MF1F2=·|F1F2|·y0=4y0.

方法7：（相似三角形轉化法）由橢圓，可知，則有

由于M 為C 上一點且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

設點M 的坐標為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），過點M 作ME⊥x 軸交x 軸于點E，取線段MF2的中點N，則知Rt△MEF2∽Rt△F1NF2，所以，解得

將y0=代入橢圓，可得x0=3（由于x0＞0，負值舍去）.

三、解后反思

美國著名的數學家哈爾莫斯曾說過：“問題是數學的心臟.”對學生來說，各類考試題無疑是最熟悉的一個“問題”，特別是高考真題.經過理論和教學實踐，充分得以證明一題多解是提高數學解題能力的有效途徑.通過典型問題呈現不同解法的同時，靈活應用數學知識，充分暴露思維過程，真正提升能力，培養數學素養.