基于簡(jiǎn)單信息傳輸?shù)暮瘮?shù)教學(xué)研究

☉江蘇省儀征中學(xué) 姜業(yè)鋒

函數(shù)概念是高一新生所接觸的第一個(gè)極其重要的高中數(shù)學(xué)概念，雖然他們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)中已經(jīng)有所了解，但高中數(shù)學(xué)要求他們對(duì)這個(gè)概念有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí).在信息化高速發(fā)展的今天，密碼學(xué)充斥著我們生活的各個(gè)方面，筆者嘗試?yán)煤?jiǎn)單信息傳輸?shù)脑韥硪龑?dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念加以理解，收到了較好的教學(xué)效果.

一、教學(xué)難點(diǎn)及引入背景

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的概念，但是函數(shù)概念的高度抽象性也給學(xué)生帶來了理解上的困擾.照本宣科，脫離實(shí)際；但通過簡(jiǎn)單的依賴關(guān)系去解釋函數(shù)概念又不利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展.基于此，受蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一課本函數(shù)模塊映射章節(jié)習(xí)題（將字母拼成的明文通過映射轉(zhuǎn)換為密文）啟發(fā)，結(jié)合時(shí)下信息的數(shù)字化傳輸這一背景，簡(jiǎn)單“密碼學(xué)”正好是函數(shù)引入的完美材料.

二、分段剖析，明確概念

下面詳細(xì)介紹如何通過函數(shù)的角度對(duì)數(shù)字串進(jìn)行信息傳輸，并加密.通過對(duì)該材料的深入剖析，進(jìn)一步發(fā)掘該材料在函數(shù)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用.

（一）數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)的建立

1.數(shù)字傳輸系統(tǒng)的建立及解讀

在自然數(shù)集N 中任取一個(gè)數(shù)字a，通過對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)a 除以26 取余.

很容易發(fā)現(xiàn)，此時(shí)最后答案仍屬于自然數(shù)集N.但不妨更加細(xì)致地考慮這個(gè)問題，例如，我們先輸入數(shù)字27，經(jīng)過對(duì)應(yīng)法則f 作用后得到數(shù)字1.因此不難發(fā)現(xiàn)，無論任取數(shù)字a 為何，通過對(duì)應(yīng)法則f 作用后答案必屬于集合{0，1，2，3，…，25}.基于此，我們建立了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的數(shù)字傳輸系統(tǒng).

2.加密系統(tǒng)的建立及解讀

在英文中有26 個(gè)英文字母，而我們需要傳輸?shù)娜魏涡畔⒍伎梢苑g成英文字母串.這時(shí)我們不妨約定，數(shù)字0 對(duì)應(yīng)字母a，數(shù)字1 對(duì)應(yīng)字母b……以此類推，數(shù)字25 對(duì)應(yīng)字母z.因此，按照這種法則，我們建立了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的數(shù)字加密（數(shù)字—字母）系統(tǒng).

例如，我們需要傳輸信息：I love math.這時(shí)只需要輸入數(shù)字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}.當(dāng)然，每個(gè)字母并不是只能由唯一的某個(gè)數(shù)字通過對(duì)應(yīng)f 才能得到.通過對(duì)對(duì)應(yīng)法則的分析發(fā)現(xiàn)，還可以輸入其他的數(shù)字串轉(zhuǎn)譯（對(duì)應(yīng)）得到相同的信息.但這些數(shù)字串有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)字可以加上26 的整數(shù)倍.

（二）基于材料，剖析概念

1.聚焦概念，發(fā)掘教學(xué)難點(diǎn)

為了更好地貼合教材，更加高效地達(dá)成函數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)，筆者將對(duì)以上材料做以下說明：

首先，教材中函數(shù)的概念是如下定義的：一般地，設(shè)A，B 是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A 中的每一個(gè)元素x，在集合B 中都有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A 到B 的一個(gè)函數(shù)，通常記為y=f（x），x∈A，其中，所有的輸入值x 組成的集合A 叫做函數(shù)y=f（x）的定義域.若A 是函數(shù)y=f（x）的定義域，則對(duì)于A 中的每一個(gè)x，都有一個(gè)輸出值y 與之對(duì)應(yīng).將所有輸出值y 組成的集合稱為函數(shù)的值域.這種高度抽象化的數(shù)學(xué)表述如何讓學(xué)生理解，并發(fā)掘這一概念的真正實(shí)質(zhì)是本節(jié)函數(shù)概念課需要突破的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn).

2.聚焦材料，對(duì)應(yīng)概念，解讀概念

解讀一：函數(shù)f（x）的值域是數(shù)集B 的子集.

不難發(fā)現(xiàn)，在以上的材料中對(duì)應(yīng)法則f 滿足函數(shù)的定義，其中，集合A、B 都是自然數(shù)集N.函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，1，2，3，…，25}，它是集合B 的子集，而在函數(shù)的概念教學(xué)中，這是一個(gè)需要給學(xué)生講解清楚的隱含知識(shí)點(diǎn)，借助該材料可以很形象地向?qū)W生說明這一點(diǎn).

解讀二：?jiǎn)沃祵?duì)應(yīng)的實(shí)質(zhì).

函數(shù)概念中“對(duì)于集合A 中的每一個(gè)元素x，在集合B 中都有唯一的元素y 與之對(duì)應(yīng)”這一句學(xué)生很難把握.但通過材料，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)最終傳輸（轉(zhuǎn)譯）過去的信息必須唯一確定，而輸入該條信息的數(shù)字串并非唯一.例如，輸入數(shù)字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}，通過建立的數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)，可以得到唯一的信息—I love math.而輸入數(shù)字串{（8+26n），（11+26n，14+26n，21+26n，4+26n），（12+26n，0+26n，19+26n，7+26n）}（n∈Z）也可以得到相同的信息.進(jìn)而真正理解函數(shù)定義中這種單值對(duì)應(yīng)的真正內(nèi)涵.

（三）借助材料，解讀函數(shù)其他相關(guān)內(nèi)容

1.復(fù)合函數(shù)

在教學(xué)過程（引入材料）中，學(xué)生提出，這種所謂的加密方式太過簡(jiǎn)單，如果生活中采用此類信息傳輸安全性如何保證，這時(shí)引入復(fù)合函數(shù)的時(shí)機(jī)恰到好處.解決辦法：提出如果在進(jìn)行轉(zhuǎn)譯（對(duì)應(yīng)法則）之前，先對(duì)給出的數(shù)字x 運(yùn)用另一種對(duì)應(yīng)法則g1得到一個(gè)新的數(shù)字x1當(dāng)然這一步驟可以重復(fù)進(jìn)行以加強(qiáng)其復(fù)雜性，然后再通過對(duì)應(yīng)法則f 進(jìn)行轉(zhuǎn)譯，問題立馬迎刃而解.

現(xiàn)以傳輸一個(gè)字母d 為例.通過數(shù)字傳輸加密系統(tǒng)可知，數(shù)字3 對(duì)應(yīng)字母d.這時(shí)可以輸入數(shù)字9，先通過對(duì)應(yīng)關(guān)系得到數(shù)字3，再通過對(duì)應(yīng)法則f，得到數(shù)字3，即f（g1（x））=3.容易發(fā)現(xiàn)，剛開始輸入的數(shù)字不是任意的，首先，它必須滿足函數(shù)g1的定義域，其次，通過函數(shù)g1作用后，它必須還要在函數(shù)f 的定義域內(nèi).只有同時(shí)滿足這兩點(diǎn)，函數(shù)f（g1（x））才有意義.這其實(shí)就是求復(fù)合函數(shù)的定義域.

復(fù)合函數(shù)的運(yùn)用背景在這里有了現(xiàn)實(shí)表達(dá)，復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算順序，求復(fù)合函數(shù)的定義域的方法也就清晰明了了.

2.已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式

求函數(shù)解析式也是本章的一個(gè)難點(diǎn).運(yùn)用配湊法和換元法求函數(shù)解析式，即已知被對(duì)應(yīng)法則作用后的形式（函數(shù)），求函數(shù)解析式.其本質(zhì)就是求這種對(duì)應(yīng)法則，即看對(duì)應(yīng)法則將變量到底如何作用？講明白這一點(diǎn)，解決這個(gè)問題的邏輯起點(diǎn)就已經(jīng)找到.這時(shí)不妨回到材料中來，學(xué)生肯定會(huì)追問，既然有加密過程，那如何解密？如果僅從本章（函數(shù)）的角度來說，解密過程其實(shí)就是去發(fā)現(xiàn)這種“對(duì)應(yīng)法則”.例如，已知f（x+1）=3x+4，求f（x）.要求f（x），即要發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)法則f 到底將括號(hào)里的變量整體x+1 具體如何作用.因?yàn)榈忍?hào)后面的解析式?jīng)]有x+1 的形式，自然需要將3x+4 寫成關(guān)于x+1 的形式：f（x+1）=3x+4=3（x+1）+1，發(fā)現(xiàn)這種對(duì)應(yīng)法則f 是將自變量先3倍再與1 求和.自然而然得到f（x）=3x+1.當(dāng)然從本材料的加密方式來說，還可以運(yùn)用概率論的相關(guān)知識(shí)去推測(cè)加密過程，在這里不多加贅述.

三、一點(diǎn)教學(xué)反思

作為一種思想的體操與競(jìng)賽，數(shù)學(xué)會(huì)使人增強(qiáng)拼搏精神和應(yīng)變能力，通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終才能解決問題.該信息的數(shù)字化傳輸加密模型的引入，是基于真實(shí)情境的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，學(xué)生能很好地在活動(dòng)過程中解決問題，形成能力.同時(shí)在教學(xué)過程中，關(guān)注數(shù)學(xué)的來龍去脈，指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過程，會(huì)提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問題的意識(shí)、信念和能力.數(shù)學(xué)課程的三維目標(biāo)不是孤立的三個(gè)目標(biāo)，而是一個(gè)目標(biāo)的三個(gè)維度.其中，情感態(tài)度與價(jià)值觀這一維度如何在課堂中體現(xiàn)并加以落實(shí)，就要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中不能為情境而情境，只有基于真實(shí)情境的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，學(xué)生才能在這一過程中獲得更高效的提高.

數(shù)學(xué)教育表面上只是一種知識(shí)教育，但本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，這種素質(zhì)教育不是從外界強(qiáng)加定義的，而是數(shù)學(xué)教育本身所蘊(yùn)含的固有的內(nèi)在屬性.以教授學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過嚴(yán)格認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，就可以由不自覺到自覺地將上述這些方面的素質(zhì)和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習(xí)慣，逐步形成自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者認(rèn)為，作為一線的教育工作者，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，戰(zhàn)場(chǎng)雖然在課堂，但“補(bǔ)給”源于生活，要善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)素材，情境設(shè)計(jì)是形成知識(shí)遷移能力的關(guān)鍵，而獨(dú)具創(chuàng)造性的課堂引入是一個(gè)很好的抓手.