暢談數學美

張程超

摘 要：本文主要從數學的語言美、簡潔美、對稱美、殘缺美、統一美、和諧美六方面來闡述，揭示數學不但有智育功能，也有美育功能。

關鍵詞：數學美；欣賞；教育

眾所周知，數學在我們的基礎教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數學美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞。下面從幾個方面來欣賞數學美。

1 語言美

數學有著自身特有的語言———數學語言，其中包括：

1.1 數的語言——符號語言

關于“π”，《九章算術》里說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”；“√2”差點被無理的行為淹沒的無理數，還有sin?、∞等等，一個又一個數的語言，無不將數的完美與精致表現得淋漓盡致。

1.2 形的語言——視角語言

從形的角度來看——對稱性；比例性；和諧性；鮮明性和新穎性等等。

2 簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。物理學家愛因斯坦的這種美學理論，在數學界，也被多數人所認同。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點數V、邊數E、區域數F滿足V-E+F=2，這個公式成了近代數學兩個重要分支——拓撲學與圖論的基本公式[1]。由這個公式可以得到許多深刻的結論，對拓撲學與圖論的發展起了很大的作用。

在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希爾伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著”。

3 對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形――圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形――任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：S=，等差數列的前n項和公式：

，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項，

an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。h與n是對稱的。對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如格點對稱，十四世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點對稱，而1924年才證明出格點對稱的種類。此外，還有格度對稱，如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恒定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

4 殘缺美

康德說過：“美并不等于完善。”三種（嚴格地講是九種）幾何的建立，也正是人們追求數學完美（或修補數學缺憾）的產物，這也是人們對數學美的另一種扭曲與偏離。

半徑不同的五個球放在桌面上，通常人們會認為規則的擺放更合乎人們的審美情結，但不規則的擺放所占據的桌面長度卻是最?。≡诮o定圓的內接四邊形中，以內接正方形的面積為最大。但是若加以推廣，結論便不成立了——內接于球的六面體中，體積最大的不是正六面體（正方體），1963年借助于計算機人們找到一種內接于球的六面體，它的同一頂點的三條棱不等長（形式上不美），但它的體積卻比內接該球的正方體大12%左右。令人不解的是：對于正多面體來講，除正六面體外，其它四種：正四面體、正八面體、正十二面體、正二十面體分別是球的內接最大體積的正多面體！

“光行最速原理”，“局部最優≠整體最優”，“貪小失大”，“最短路線問題”——平面上給定n個點，通過增加斯坦納點的最小樹長（最短線路）最我可比原來不增加新點時的最小樹長13.4%。（1990年我國數學家堵丁柱和旅美學者黃光明博士證明了更一般的情形：去掉了平面的限制。）

缺憾帶來希望，有希望才有追求，有追求才有創生。

5 統一美

數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數次坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣。

英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協”，犧牲了復數集中的一條性質，終于發現了四元數[2]。四元數的研究推動了線性代數的研究，并在此基礎上形成了線性結合代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。

數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希爾伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。但他還是沒有完成統一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求。

6 和諧美

歐拉公式：，曾獲得“最美的數學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣美弗-歐拉公式是。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函

數――三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對他們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是“天作之合”。

和諧的美，在數學中多得不可勝數。如著名的黃金分割，即0.61803398…。在正五邊形中，邊長與對角線長的比

是黃金分割比。建筑物的窗口，寬與高度的比一般為λ；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23：37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建筑設計的精巧、人體科學的奧秘、美術作品的高雅風格，音樂作品的優美節奏，交融于數的對稱美與和諧美之中。

維納斯的美被所有人所公認，她的身材比也恰恰是黃金分割比。

黃金分割比在許多藝術作品中、在建筑設計中都有廣泛的應用。達·芬奇稱黃金分割為“神圣比例”.他認為“美感完全

建立在各部分之間神圣的比例關系上”[3]。

數學的和諧美還表現為它能夠為自然界的和諧、生命現象的和諧、人自身的和諧等找到最佳論證。

事物的發展規律是“螺線式”的。螺線不僅是生命的曲線，也是生活的曲線[4]！

生命的豐富多彩，數學的優雅美妙，一旦二者揉合，必定會為人們認識生命現象提供啟發，創造機會，揭示奧秘，同時也為數學自身的發展提供模式與課題。

7 結語

總之，數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數學家們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。

參考文獻

[1]陳煥斌，張雄.略論數學美的本質屬性.數學教育學報，2008（05）：28-30.

[2]李可欣.淺談數學中的美學體現.赤子，教學研究，2018（01）：225.

[3]齊蕊.淺析數學中美的教學.石家莊職業技術學院學報，教育教學，2018（04）：76-77.

[4]金子明，數學美的和諧性.學科網，數學資訊，2018（1）.