全面總結知識，著力提高解題水平

董仲超

[摘? ? ? ? ? ?要]? 討論高等數學教學如何提高解題水平的一些問題，分兩部分進行闡述。第一部分將題型分成概念公式題、遷移題、綜合題、證明題四類，第二部分闡述要善于從方方面面進行總結。我們要總結知識結構，總結問題，總結解題方法，總結解題經驗，在總結中鞏固自己的知識、提高自己的能力和素質，提高自己解決問題的本領。

[關? ? 鍵? ?詞]? 題型分類;總結;解題;目標

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）36-0256-02

一、常見題型分類

（一）概念公式題

1.定義

所謂概念公式題就是直接套概念公式就可以解出的題目。只要概念公式記住了，問題就能夠解決。

2.例子及解答

例題：設向量=（3，-2，1）=（p，-4，-5），已知⊥，則×等于多少？

解答：第一步，根據兩向量垂直，得到兩向量數量積等于零，算出p;第二步，根據向量積的公式得到兩向量的向量積。

3.此類問題的解決方法

這類問題的實質就是考查記憶能力，只要記住了計算公式，稍加訓練，遇到問題自然就解決了。

4.此類問題的教學方法

第一講清概念公式等知識點，第二手把手地教題目解答，第三在作業中練習知識點，第四在以后的學習中經常復習，可以在講解復雜的題目時帶到這些基礎知識，也可以簡單重復該知識點。

（二）遷移題

1.定義

所謂遷移題就是該問題并沒有接觸過，但是解決問題方法的實質是已經學過的。

2.例子及解答

例題1：已知空間直線方程==，求該直線xoy在面上的投影曲線？

解答：解決向量代數與空間解析幾何問題的關鍵是數形結合。畫出圖來就會發現，所謂該直線在面上的投影曲線就是該直線的兩點在面上的投影，就是該直線上的任意兩不同點讓第三個坐標為零就可以了。所以說雖然該問題沒有接觸過，但是解決問題的實質或者思想方法就是投影柱面和投影曲線里面的思想。

例題2：計算I=-1dxdydz，其中Ω為曲面z=與z=1所圍成的區域。

解答：求三重積分的題目關鍵是畫出積分區域，并確定為何種類型的三重積分，是截面法、投影法、柱面坐標還是球面坐標？當然要能確定為何種類型，自己首先知道各種類型的原型。但是這道題目里面含有絕對值。怎么辦？這個問題一般教材上沒有，但是解決問題的方法其實一句話，找到積分區域上的被積函數。這個思想方法我們是一貫在求三重積分時候用的，但是就是沒有提煉出來，明確下來。所以這道題只要在原點畫個半徑為1的圓就把積分區域分成兩部分，然后在每個積分區域上用球面坐標來做就可以了。

3.此類問題的解決方法

這類問題不但考查記憶能力，而且還要考查理解能力。所以首先要記住公式、概念，還要能清楚說出問題的原理。比如投影柱面、投影曲線、積分區域上的被積函數、球面坐標都要能說清楚。

4.此類問題的教學方法

第一是要講清楚知識點，第二是要求學生會總結問題和解決問題的方法，要求問題與方法爛熟于心，第三是給予一定量、一定難度的題目訓練，進一步對概念、方法爛熟于心。經過這樣的講解訓練，達到熟能生巧的程度。

（三）綜合題

1.定義

綜合題涉及多個概念、方法、技巧的問題，需要我們對涉及的所有知識點都掌握后問題才能解決。

2.例子及解答

例題：在變力=yz+zc+xy的作用下，質點由原點沿直線運動到橢圓++=1上第一卦限的點M（ξ，η，ζ）。試問，當ξ，η，ζ取何值時，力所作的功W最大？并求出W的最大值。

解答：第一步，根據變力沿曲線做功（這里直線可以理解成一種特殊的曲線）的數學模型是第二類曲線積分，得到一個第二類曲線積分的式子。第二步，列出曲線（該直線）的參數方程，計算出該第二類曲線積分的結果為一函數。第三步，判斷此問題為條件約束問題。根據約束條件，列出拉格朗日函數，用拉格朗日乘數法解出最大值。

3.此類問題的解決方法

這類問題考查的知識點較多，要求每個知識點都掌握。換句話說，如果我們掌握了每個知識點，那么我們就能解決這類問題。這道題目的考點有第一類曲線積分的概念、計算公式、物理原型，直線的點向式、參數式方程，條件約束問題及解決方法。如果這些知識點都掌握了，那么這個問題就能解決了。

4.此類問題的教學方法

首先是講清楚每個知識點，然后要穩扎穩打，經常復習，同時要求同學做好總結。總結概念、方法、技巧、公式、符號、解題步驟，在總結中提高自己。

（四）證明題

1.定義

證明題就是運用所學概念、方法、技巧、公式來進行判斷和推理，證明某項結論成立的問題。

2.例子及解答

例題1：如果正項級數an收斂，試證級數也收斂。

解答：第一步，對要求的級數通項進行放縮，拆成兩項;第二步，利用條件和p級數的收斂得到右端收斂;第三步，利用正項級數的比較判別法，得到左端級數收斂。

例題2：設級數（an-an-1）收斂，bn是收斂的正項級數，證明級數anbn絕對收斂。

解答：第一步，利用級數收斂其部分和必有極限，得到數列an收斂;第二步，利用數列an收斂必有界得到其有界M;第三步，利用放縮法證明anbn小于等于Mbn，右端收斂，所以左端絕對收斂。

3.此類問題的解決方法

這類問題和上面的綜合題比較起來，沒有直接告訴你用什么方法。我們必須熟悉所有的正項級數判別法，還要知道平方差公式的放縮技巧，經過相當題目的訓練后，才能想到用上述方法技巧解決。第二題必須知道級數收斂就是部分和數列收斂就是其極限存在，正項級數的比較判別法，絕對收斂的概念等。此類問題的關鍵就是我們必須學會運用正確的概念、公式、方法、技巧進行判斷和推理，得到一系列結論。

4.此類問題的教學方法

首先是講清楚每個知識點，然后是要穩扎穩打，經常復習，同時要求同學做好總結。在此基礎上，還要教會學生聯想的方法，就是考的是級數，你必須腦中有級數整章的知識結構。另外，還要有一定的訓練。同時，要教會學生運用綜合分析法解決問題的方法。所謂綜合分析法就是“條件推推，結論推推，兩頭湊湊”。一定要學會用綜合分析法來解決問題，用活條件和結論。

二、全面總結，提高解題水平

（一）老師必需的教學步驟

教學步驟必須完整，而且要突出重點。要給學生教學資料，包括教材電子稿、試卷、題庫、授課計劃等;要備好課，上好課;要有習題課;要考前沖刺;要輔導答疑;要做好學生的溝通、激勵;要做好平時測驗;要批改好作業等。重點是解答好學生心中的疑難困惑，老師要做好示范。

（二）學生必需的學習步驟

作為學生來說，必須做好預習，聽好課，做好復習，做好作業，做好試卷、題庫，有問題要及時請教同學、老師等。關鍵是要發揮學生的主動性，學生在學習中要化被動為主動，積極構建自己的知識體系，在任何問題上都不能有疑惑。在學生的學習過程中，有疑惑一定要解決掉，絕不能放在那里，因為知識點往往是相互聯系的。

（三）學生學習的關鍵是全面總結

1.目錄般的總結（含有經典題型）

學生要按照教材目錄，對各章節知識點進行總結。總結中包括各節的知識框架，重點、難點、疑點要標明弄清楚。在每章節的總結中，每節要有幾個經典題型。既要做知識的總結，也要做題型的總結。所謂“練拳不練功到老一場空，練功不練拳猶如無舵船。”這里的功就是基本功，就是各章節的知識點;這里的拳就是各種題型。

2.專題總結

除了按照章節來總結的話，我們也要有意識地進行專題總結。比如高等數學中的若干對稱性問題，總結如下。

①定積分中的對稱性問題：偶倍奇零是定積分中的對稱性問題的概括。

②二重積分中的對稱性問題

a、設函數f（x，y）在閉區域上連續，域D關于x軸對稱，D位于x軸上方的部分為D1，在D上，（1）f（x，-y）=f（x，y），則f（x，y）dσ=2f（x，y）dσ

（2）f（x，-y）=-f（x，y），則f（x，y）dσ=0

③第一類曲面積分中的對稱問題：我們以一個例子來講清楚這里面的對稱性問題。

Σ：x2+y2+z2=a2（z≥0），Σ1為Σ在第一卦限中的部分，則有

zdS=4xdS。

這里用到的對稱性實質上仍是兩方面，第一是積分區域對稱，第二是在對稱的積分區域上函數相等。

④對稱性問題實質的總結

對稱性問題的實質就是積分區域對稱，這里面有各種各樣的對稱，然后就是在對稱的積分區域上被積函數相等或相反，最后就得出是倍數關系還是為零的結論。

3.解題經驗總結

解題經驗總結一下就是三條：第一條，全面總結知識，有牢固的知識結構基礎;第二條，有一定的常規題、遷移題、綜合題、證明題的訓練;第三條，要學會綜合分析法的解題思想方法。

4.學習方法總結

學習方法總的來說是要學會化被動為主動進行自學，學會自己提煉問題并獨立解決問題，學會做筆記，構建自己的知識體系，學會做到疑難困惑處給出明確答案，不斷前行。

（四）為達到教學目標奠定扎實基礎

1.教學目標是什么

高等教育的任務是培養具有社會責任感、創新精神和實踐能力的高級專門人才，發展科學技術文化，促進社會主義現代化建設。

通過本課程的學習，能夠為將來的學習打下扎實的數學基礎和學習方法基礎，能夠提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。

在學習和應用高等數學過程中，學生能發展出質疑探索、抽象概括、邏輯推理、數學建模、數學運算、歸納總結等數學核心能力。

在學習數學的過程中，可以培養學生運用正確的概念進行判斷推理的能力;通過大量的題目訓練可以培養出學生吃苦耐勞的品格，從而培養價值判斷能力;通過一系列的學習、復習、檢測、講解、答疑等教學環節，有助于學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，認識到成績是努力出來的，幸福是奮斗出來的。

2.通過總結我們學到了什么

通過總結，我們讓知識條理化、系統化、結構化，把別人的知識經驗思想變成自己的知識經驗思想，通過總結為解題打下牢固的知識基礎，通過總結為達到教學目標打下牢固的基礎。我們要經常在學習中，在解決問題中，在提煉問題中總結問題和方法，做好總結這個基礎性工作。

只要學生肯穩扎穩打地認真學，肯老老實實學，肯勤學苦練，高等數學是能夠學好的，能夠體會到解決問題的能力如登堂入室的感覺，能夠為其他各門功課的學習打下知識和學習方法的基礎，能夠全面提高素質。

參考文獻：

陳曉龍，施慶生.高等數學學習指導[M].北京：化學工業出版社，2016.

◎編輯 趙瑞峰