追本溯源，讀懂正態分布

李艷

摘 要：生活中很多隨機現象都可以用正態分布來描述其統計規律，熟悉和掌握正態分布的性質及應用對概率統計的系統學習很重要。

關鍵詞：正態分布 中心極限定理

引言

正態分布是本科《概率論與數理統計》課程中介紹的重要的連續型隨機變量分布之一。之所以說它重要，是因為，一方面，正態可以用來描述生活中的很多隨機現象，比如人的生理特征方面的身高、體重、智力等，還有產品的質量分布和測量誤差等;另一方面，在滿足一定的條件下，它還是其他許多分布的極限分布;另外，本科階段所學習的參數之區間估計和假設檢驗也主要是針對正態分布進行討論的。可以說，正態分布的性質和應用，貫穿于整個課程的教學內容。[1]

然而課本上并沒有提及得到正態分布的來龍去脈，如此驚艷的公式，卻有種從天而降的感覺，真是應了那句：“神說，要有正態分布，就有了正態分布;神看正態分布是好的，就讓隨機誤差服從了正態分布。”互聯網上有些相關的資料，語言生動有趣，但難免跟后續的內容相聯系過多，導致初學者越看越迷茫。因此，對正態分布這節內容的講解的深度和廣度就顯得很重要，在恰當的地方講恰當的內容，避免正態分布成為熟悉的陌生人。[2]

一、人生若只如初見

在講正態分布之前，為了不讓學生覺得內容枯燥突兀，可以先從生活中比較直觀的例子切入，比如關于某高校大二某班學生身高。給出數據，可以讓學生自己繪出頻率直方圖，一般情況下得到的直方圖具有中間高兩邊低的趨勢，連接每個小矩形頂部中點，可以得到一條同樣走勢的折線如圖a所示。

如果統計身高的學生數逐漸增多，身高區間劃分得逐漸細致，圖a中的折線會變得越來越光滑，最終形成如圖b所示的一條光滑曲線，那么自然想到這條曲線對應的函數是什么呢，就目前所學知識，可以直接給出該曲線的方程：

其中μ，σ （>0） 為參數 ，并稱以該函數為密度函數的隨機變量服從正態分布，

記作。μ是正態曲線的對稱軸，σ是拐點到的距離。

有了分布，自然要進行概率計算。由高等數學的知識可知，一般正態隨機變量落在某個區間內的概率無法通過積分得到，那該如何去求呢？一般的概率統計教材上都是通過一個線性變換，令，然后證明。這里用到的證明方法從知識點上看屬于隨機變量的函數的分布，在內容編排上屬于后續的學習內容，從多年的執教經驗來看，講解這個證明過程對理解正態分布并無多大益處，可以講完隨機變量的函數的分布之后，再讓學生自己去證明。我們可以利用圖像的變換，把一般正態分布的對稱軸移到坐標系中唯一的y軸，然后令數軸上所有的點到對稱點的距離縮小σ倍，即得標準正態分布。標準正態分布地得到，既解決了一般正態隨機變量的概率計算問題，也為后續的中心極限定理做好了鋪墊。

二、千呼萬喚始出來

上一節中，我們似乎很輕松地得到了正態分布，事實上，正態分布地得到可不是天才們一拍腦門就想出來的。我們一起穿越時空，回顧那段精彩的歷史。

首先出場的大神是法國數學家棣莫弗。他所撰寫的《機遇論》是概率論發展史中很重要的一本書。促使棣莫弗推導出正態分布是類似于如下的一個問題：假設隨機變量 X～B（n，p）（二項分布）， 求X 落在平均值np附近的概率P（|X–np|≤ε）。對于 p=1/2 的特殊情況， 棣莫弗做了一些計算并得到了一些近似結果，但是不夠

理想，進而他又利用斯特林公式，得到了如下的結果：

（1）

正態分布的密度函數就在上面的積分中低調地出現了。之所以說它低調，一是因為棣莫弗個人并沒有完全意識到正態分布的神奇之處，二是他的工作當時并沒有得到多少人的重視，也沒有在統計學中發揮它的作用，因此他也錯失了正態分布的冠名權，而后高斯基于在天文學中隨機測量誤差服從正態分布等一系列工作而獲得冠名權，所以正態分布也稱高斯分布。

三、天下誰人不識君

再回到（1）式，不難概括出該式體現的就是二項分布的極限分布是正態分布。棣莫弗研究了 p=1/2 的情形，后來拉普拉斯把二項分布的正態近似推廣到了任意 p的情況。這個結果就是棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

在這些工作的基礎上，中心極限定理隨后又被其他數學家們推廣到了其他任意分布，比如李雅普諾夫中心極限定理和萊維-林德伯格中心極限定理。這些定理揭示了正態分布產生的源泉和自然界中正態分布應用的廣泛性。統計學家發現，在樣本容量充分大的時候，一些隨機變量的極限分布都可以用正態來描述，這構成了數理統計學中大樣本理論的基礎。這部分內容在本科階段的區間估計和假設檢驗中都有涉及。正態分布的問世以及它在中心極限定理和誤差分析中的應用，得到了許多數學家統計學家的認可、推崇與贊美，使得它稱霸于眾多概率分布，艷壓群芳，一枝獨秀，以至于當時有些統計學家認為正態分布幾乎無所不能。它在經濟管理、物理、社會科學、醫學、農業、工程等許多領域都堪當研究指南，在實驗和觀測數據的解讀中是必不可少的工具。

結語

任何數學知識都有其特定的產生背景和在實際生活中的應用。基于這樣的思考，針對所授知識點，在教學過程中適當講述些知識背景，學生就不會覺得突兀，也能更好地激發他們的學習動機和興趣，更好地學習本課程。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2008：14，36.

[2]戴維·薩爾斯博格，劉青山譯.女士品茶[M].江西人民出版社.