關于梁的彎曲中若干公式的分類討論①

李成 沈紀蘋 姚林泉

摘 ? 要：梁的彎曲在工程結構中有著廣泛的應用，一些基本公式如彎矩與內力的合力偶矩間關系、彎曲正應力與彎矩間關系、軸向應變與曲率間關系、撓曲軸微分方程、彎曲應力或軸向應變與撓度間關系等，往往會受到若干量的正方向規定之影響。教學中發現，學生們對基本公式的正負號時常會弄混。不同研究文獻中對這些公式也使用著不同的表達形式，通常是相差一個負號。然而，何種情況下使用何種表達形式，或者所使用的表達式對應于何種正方向規定，在有些文獻中缺乏清晰的說明。本文針對這個問題開展具體的分類討論和總結，以期為梁的彎曲中基本表達式的使用提供明確的參考。

關鍵詞：梁的彎曲 ?正應力 ?彎矩 ?撓度 ?曲率

中圖分類號：O33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）09（b）-0231-04

Abstract： The bending of beams is widely applied in engineering structures. Some basic formulas are often influenced by the positive directions of various quantities， such as the relationship between bending moment and resultant moment of internal force， the relationship between bending normal stress and bending moment， the relationship between axial strain and curvature， the differential equation of deflection curve， the relationship between normal stress or axial strain and deflection. It is found in teaching that students often confuse the positive and negative signs of basic formulas. These formulas were expressed differently in previous literatures， usually with a positive or negative sign. However， there is a lack of clear explanation in some literatures about which kind of expressions should be used in certain situations， or what the positive directions are corresponding to the formulas used. This paper carries out a specific classification and discussion， in order to summarize the differences and commonalities， and provide a clear reference for the application of the basic formulas in the bending of beams.

Key Words： Bending of beams; Normal stress; Bending moment; Deflection; Curvature

梁的彎曲是材料力學課程中的重要教學內容，一般包括彎曲內力、彎曲應力和彎曲變形三大部分[1-4]。在一些國內外現行的材料力學教材中，有的規定彎曲應力中橫向坐標（以y坐標表示）以向下為正，而彎曲變形中撓度（以w表示）以向上為正[1-2];有的規定橫向坐標和彎曲撓度均向下為正[3]，還有的規定橫向坐標和彎曲撓度均向上為正[4]，等。正方向規定的不同使得前后兩部分的公式推導特別在正負符號方面銜接不自然且易產生混淆。另外，不同的教材中對彎矩的正方向規定也不盡相同，多數以使得梁段發生上凹變形的彎矩為正，少數則以梁段發生上凸變形的彎矩為正。上述方向規定的不同也導致了梁的彎曲中另一類重要內力，即剪力的方向（使梁的微段具有順時針還是逆時針轉動趨勢為正）及其與彎矩和載荷集度間關系存在不同的表達，并帶來了后續其他公式的推導中是否含有負號這一問題。比如，在研究文獻中，梁的彎曲正應力和軸向正應變與彎曲撓度關系，一般都采用[5-8]

， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

然而，式（1）是否對任何正方向規定都適應？是否存在等號右邊不帶負號的情形（但該種情形在研究文獻中幾無跡可尋）？另外，基本的彎矩定義式也有如下兩種表達式均在文獻中使用[7-11]

， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，前者多出現在材料力學教材[1-3]及部分文獻中[7，10-11]，而后者在教材[4]及研究文獻中也廣泛存在[8，9，12]。另一方面，有些文獻沒有事先強調所有基本量的正方向，直接使用撓曲軸近似微分方程如下：

（3）

而忽略了可能存在的另一種情況

（4）

這些研究現狀表明，如果在梁的彎曲中，沒有事先明確必要的各類正方向，對后續公式推導及力學量的表達容易產生符號上的混亂。本文以最簡單的梁的平面純彎曲為例，討論上述公式分別適用于何種具體情形。

1 ?分類討論

根據正方向選取的不同，本文分別討論四種基本情況，并試圖從中尋找若干共性規律。根據彎矩M、橫向坐標y以及撓度w的正方向之不同，存在如下四種基本情況，如圖1（a）～圖1（d）所示。其中，為了分析方便，橫向坐標y與撓度w的正方向總是選取同一方向，避免了橫向坐標與撓度正方向選取不一致時，導致的公式推導過程不夠連貫的問題。

1.1 第一種情況

首先考慮圖1（a）所示的第一種情況，該梁段上橫截面的受力分析如圖2所示。

根據定義，彎矩是由橫截面上的彎曲正應力取矩合成而得。橫截面上中性層以下部分受拉，中性層以上部分受壓，應力對形心之矩與圖中所規定的彎矩方向一致。因此針對圖1（a），純彎曲中唯一的彎矩內力表達式為

（5）

我們知道，在平面（Oxy面）彎曲時截面對z軸的慣性矩為

（6）

慣性矩是橫截面的基本幾何屬性之一，與坐標方向無關，因此它適應于圖1（a）-圖1（d）的各種情況。按照圖1（a）的坐標系和正彎矩的規定可得到彎曲正應力為

（7）

進一步地，考慮正應力或正應變與彎曲變形撓曲線曲率之間的關系。圖1（a）中，因為橫向坐標y向下為正，當y取正時，對應梁的中性層以下部分，此時應力與應變均為正（拉應力/拉應變）;當y取負時，對應梁的中性層以上部分，此時應力與應變均為負（壓應力/壓應變）。這就是說，彎曲應力和軸向應變與橫向坐標總是同號，那么

（8）

結合式（7）和（8）可得

（9）

根據曲率的近似表達可知

（10）

因此，

（11）

根據圖1（a）中彎矩M和撓度w的方向規定，可知M>0，，也就是M與是異號的，因此有

（12）

基于上述材料力學的分析結果，進一步可推知梁（此處分析僅適應于Euler–Bernoulli梁）的彎曲正應力為

（13）

1.2 第二種情況

在圖1（b）中，因為彎矩方向與圖1（a）相同，而y方向與圖1（a）相反，根據彎矩的定義即橫截面的內力之合力偶矩，那么彎矩表達式變為

（14）

上式也可以理解為：在圖1（b）中，正應力或正應變與橫向坐標總是異號，即中性層以上部分橫向坐標為正，但存在壓應力或壓應變;中性層以下部分橫向坐標為負，但存在拉應力或拉應變。據此亦可得

（15）

同時，由式（14）和式（6）可得

（16）

由式（15）和式（16）可得

（17）

根據圖1（b）中彎矩和撓度的方向，可知M>0，，也就是M與是同號的，因此有

（18）

進一步可得Euler–Bernoulli梁的彎曲正應力為

（19）

1.3 第三種情況

在圖1（c）中，僅彎矩方向與圖1（a）相反（但y方向與圖1（a）相同），那么彎矩表達式與式（14）相同。同樣可以理解為：在圖1（c）中，應力或應變與橫向坐標總是異號，比如中性層以上部分橫向坐標為負，但應力或應變為正，據此亦可得式（15）。進一步地，第二種情況下的式（16）和式（17）亦適應于本類情況。不同的是，根據圖1（c）中彎矩和撓度的方向，可知M<0，，也就是M與是異號的，因此有，在此基礎上推得彎曲正應力不同于以上兩種情況，為

（20）

1.4 第四種情況

在圖1（d）中，因為彎矩M及橫向坐標y方向均與圖1（a）相反，那么彎矩表達式與式（5）相同。同樣可以理解為：在圖1（d）中，應力或應變與橫向坐標總是同號，在中性層以上部分橫向坐標為正，恰好對應拉應力和拉應變;在中性層以下部分橫向坐標為負，恰好對應壓應力和壓應變。據此亦可得式（8）。進一步地，第一種情況下的式（7）和式（11）亦適應于本類情況。不同的是，根據圖1（d）中彎矩和撓度的方向，可知M<0，，也就是M與是同號的，因此有，此時正應力為

（21）

當然，以上四種情況還可繼續細分，也就是把橫向坐標與撓度方向分開。比如圖1（a）中，如果橫向坐標和撓度中有一個改為向上為正，可根據1.1節的分析思路得出若干公式的新表達，比如最后彎曲正應力將變為，其他各種情況類同。實際上，以上四種情況，若單單考慮彎曲正應力或軸向正應變，也可以直接從曲率角度出發。因為軸向應變，而曲率，所以也可直接看出軸向應變與彎曲撓度間的關系存在帶正號或帶負號兩種情況。當然，在明確給定各類正方向的條件下，彎曲正應力或軸向正應變的表達式是唯一的，具體可參照上述四種不同情況。

2 ?結語

本文討論了梁的彎曲中彎矩、撓度、橫向坐標在不同方向選取的情況下，所引起的相關基本公式在表達上的差異，具體結果如表1所示。其中，彎矩定義式①、彎曲正應力與彎矩的關系②、彎曲正應力或軸向應變與曲率的關系②隨著彎矩與橫向坐標所取方向的改變而改變;撓曲軸近似微分方程③、應力或應變與撓度的關系④隨著彎矩與撓度所取方向的改變而改變。此外，根據撓曲軸近似微分方程在四種情況下的表達可知，彎矩與曲率的方向總是一致的。

實際上，只要分析清楚第一種情況，其余三類可以對比第一種情況根據彎矩、撓度、橫向坐標的改變直接推知結果。比如，第二種情況相比第一種情況，首先橫向坐標反向，因此與橫向坐標相關的公式①和②在兩種情況下符號相反;其次撓度反向，因此與撓度相關的公式③符號相反;最后橫向坐標與撓度均反向，因此與二者皆相關的公式④符號不變。基于本文的分類討論結果，可根據梁的彎曲受力示意圖中諸量的方向，在相關研究中直接對號入座使用相應的撓曲軸近似微分方程和正應力表達等關系式。

參考文獻

[1] 單輝祖.材料力學[M].4版.北京：高等教育出版社，2016.

[2] 劉鴻文.材料力學[M].6版.北京高等教育出版社，2017.

[3] 孫訓方， 方孝淑， 關來泰.材料力學[M].5版.北京：高等教育出版社， 2009.

[4] F.P. Beer， E.R. Johnston Jr.， J.T. Dewolf， D.F. Mazurek， Mechanics of Materials （6th Edition）， New York： McGraw Hill， 2012.

[5] X.D. Yang， L.Q. Chen. Stability in parametric resonance of axially accelerating beams constituted by Boltzmann's superposition principle[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006（289）： 54–65.

[6] C.W. Lim， C.M. Wang. Exact variational nonlocal stress modeling with asymptotic higher-order strain gradients for nanobeams[J].Journal of Applied Physics， 2007（101）： 054312.

[7] J.N. Reddy. Nonlocal theories for bending， buckling and vibration of beams. International Journal of Engineering Science， 2007（45）： 288–307.

[8] 王波， 陳立群， 王洪偉， 等. 非線性變速軸向運動黏彈性梁穩態響應[J].科技導報， 2009， 27（2）： 25-28.

[9] J. Peddieson， G.R. Buchanan， R.P. McNitt. Application of nonlocal continuum models to nanotechnology. International Journal of Engineering Science， 2003（41）： 305-312.

[10]Q. Wang， G.Y. Zhou， K.C. Lin. Scale effect on wave propagation of double-walled carbon nanotubes. International Journal of Solids and Structures， 2006（43）： 6071–6084.

[11]C.M. Wang， S. Kitipornchai， C.W. Lim， M. Eisenberger. Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory[J].Journal of Engineering Mechanics， 2008（134）： 475–481.

[12]陳玲， 沈紀蘋， 李成， 等. 梯度型非局部高階梁理論與非局部彎曲新解法[J].力學學報， 2016， 48（1）： 127–134.