空間曲面切平面引入的教法探討

摘 要：本文通過(guò)探究高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用教學(xué)中，通過(guò)重新定義空間曲面的切平面并求出切平面的方程，給出這方面知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的一個(gè)新思路.

關(guān)鍵詞：偏導(dǎo)數(shù) 空間曲線 空間曲面 切線 切平面

1.一般的高等數(shù)學(xué)教材[1]，在講空間曲面的切平面的時(shí)候，在給出切平面的定義后，通過(guò)求曲面上任意一條曲線的偏導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)得到切平面的法向量，進(jìn)而得到切平面方程。 這樣處理的好處是簡(jiǎn)單易得，但壞處是沒(méi)有直接給出切平面的法向量，給人的感覺(jué)法向量是順便得到的，不是主動(dòng)求得的。教師在講這方面內(nèi)容的時(shí)候可以換一種思路和方法來(lái)講述這一部分，可以如下設(shè)計(jì)教案。

2.空間曲面的方程為：，點(diǎn)為曲面上任一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)平行于坐標(biāo)平面的曲線為：

過(guò)點(diǎn)平行于坐標(biāo)平面的曲線為

兩曲線在點(diǎn)的切線垂直相交于點(diǎn)。

3.曲面在點(diǎn)處切平面可以定義為：曲線在點(diǎn)的切線構(gòu)成的平面。

這里涉及兩個(gè)問(wèn)題，一是證明過(guò)點(diǎn)的所有曲線的切線落在切平面上，二是求切平面的點(diǎn)法式方程。

4.教科書(shū)[1，2]處理方式是證明第一個(gè)問(wèn)題，順便解決第二個(gè)問(wèn)題，這里可以反過(guò)來(lái)講，即先求切平面的點(diǎn)法式方程。再證明第二個(gè)問(wèn)題。

由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)的切線方程為切線方程為：

即。

其方向向量 。

在點(diǎn)的切線方程為切線方程為：

即 。

其方向向量 。

垂直于切平面的向量為：

可取法向量為，于是曲面在點(diǎn)的切平面的點(diǎn)法式方程為

下面證明曲面的過(guò)點(diǎn)的所有曲線的切線落在切平面上。

設(shè)曲線? 是曲面上過(guò)點(diǎn)的任一條曲線，其中 為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。故

曲線 在點(diǎn)的切線的方向向量為 。

因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，

故。

所以垂直于切平面的法向量。 即曲面的過(guò)點(diǎn)的所有曲線的切線落在切平面上。

5.這樣設(shè)計(jì)教學(xué)的好處是切平面的定義相對(duì)簡(jiǎn)單，證明用到的知識(shí)更豐富，比如用到向量的向量積。涉及的知識(shí)點(diǎn)也更多，比如除了空間曲線的切線相關(guān)知識(shí)外，還有更前面講的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義等。讓學(xué)生們可以更好地理解和鞏固前面所學(xué)內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社2007.

[2]李路，張學(xué)山.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].1版.北京：清華大學(xué)出版社2013.

作者簡(jiǎn)介

李宜陽(yáng)（1979—），男，山東高密人，博士，副教授，從事李代數(shù)與表示理論