基于比例歸一化LMS算法次級通道模型辨識

陳媛媛，周德好，王 強

（1.南京理工大學(xué)，南京210094；2.北京航天光華電子技術(shù)有限公司，北京100039）

0 引言

作為公共交通工具的一種，地鐵已經(jīng)在國民經(jīng)濟發(fā)展中發(fā)揮出了越來越重要的作用。受限于地面空間的種種局限，我國的地鐵多建設(shè)于地下。為確保乘客及地鐵工作人員所處環(huán)境的舒適性，以及確保地鐵設(shè)備的安全穩(wěn)定運行，通常需要使用大功率的軸流風(fēng)機來滿足地下通風(fēng)、散熱、排煙等的需求。這些風(fēng)機主要包括隧道風(fēng)機、回排風(fēng)機、新風(fēng)風(fēng)機、排熱風(fēng)機、變功率大風(fēng)量空調(diào)等，以及用于各類機房、車控間等通風(fēng)需求的小系統(tǒng)風(fēng)機。這些風(fēng)機必須無間斷運行，并且已成為地鐵通風(fēng)隧道的主要噪聲源。常見的地鐵通風(fēng)隧道的噪聲控制方式，如消聲器、表面加貼吸聲材料等，均為被動噪聲控制手段。其缺點在于：1）對氣流產(chǎn)生較強阻抗作用，不利于節(jié)能減排的需求； 2）對低頻噪聲（20Hz～2000Hz）的控制效果差，而在通風(fēng)隧道中多為低頻噪聲；3）噪聲控制設(shè)備安裝復(fù)雜，綜合費用高昂。

主動噪聲控制技術(shù)已被證明是一種行之有效的噪聲控制方法，在低頻段具有很好的降噪效果。主動噪聲控制技術(shù)基于聲波干涉原理，利用次級聲源作為控制源，生成與初始噪聲等幅反相的次級噪聲，再將其與初始噪聲進行疊加，從而達到消除噪聲的目的［1］。控制的關(guān)鍵點在于通過誤差聲傳感器實時跟蹤噪聲場的變化，以動態(tài)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)。濾波?X 最小均方 算 法 （Filtered?X LMS，F(xiàn)XLMS）是最為典型的控制算法，F(xiàn)XLMS算法中包含一項濾波?X或濾波?U的信號矢量，它是輸入信號矢量與次級通道脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積［2］。次級通道（Secondary Path）是指系統(tǒng)中從次級聲源到誤差聲傳感器之間的信號通路，其傳遞函數(shù)特性對于整個主動噪聲控制系統(tǒng)有著非常重要的影響。其影響主要表現(xiàn)在：1）次級通道模型誤差影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和降噪效果［3］；2）次級通道模型參數(shù)在很大程度上影響著控制算法的計算量［4］。可見，對于次級通道模型的準確辨識，獲得精確的傳遞函數(shù)是實現(xiàn)主動噪聲控制的關(guān)鍵因素之一。

對次級通道的辨識是影響主動噪聲控制效果的一個關(guān)鍵因素。1989年，Eriksson等［5］提出了有效的次級路徑辨識方法。但是，由于引入了附加噪聲，導(dǎo)致主動控制過程與次級路徑辨識過程之間產(chǎn)生了相互干擾，從而使得整個系統(tǒng)的性能出現(xiàn)了下降。相關(guān)研究者也做出了很多有意義的改進。針對Eriksson所提出的算法的不足，竇長勝等［6］提出利用誤差預(yù)測濾波器來減少主動控制環(huán)節(jié)對辨識環(huán)節(jié)的影響，但其忽視了隔離附加噪聲對控制器系數(shù)的影響，需要選用特定的激勵信號才能取得滿意的效果。Zhang等［7］采用了交叉更迭（Cross?updated）方法，使用了3個交叉更新的自適應(yīng)濾波器，來盡量避免主動控制部分與次級路徑辨識過程之間的相互干擾。Akhtar等［8］在Zhang的基礎(chǔ)上避免了第3個濾波器的引入，將變步長LMS算法用于建模濾波器，取得了較好的性能效果。遺憾的是，Akhtar的方法忽略了控制濾波器及附加噪聲對辨識的影響，且算法步長范圍的控制也不能讓人滿意，難以被應(yīng)用于實際。針對次級通道的不確定性，玉昊昕等［9］通過建立濾波?X最小均方算法（FXLMS）的等效傳遞函數(shù)，用線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)求解算法的穩(wěn)定條件，求得次級通路誤差存在時收斂系數(shù)的取值范圍，然后通過系統(tǒng)極點來分析此時算法的收斂特性，并研究收斂系數(shù)取值對次級通路誤差的承受能力。針對含次級通道辨識的窄帶ANC系統(tǒng)，為了降低輔助噪聲對次級通道辨識的影響，提出了一種變遺忘因子、變步長的濾波?X加權(quán)累加最小均方算法［10］。利用互相關(guān)的誤差信號構(gòu)建了變遺忘因子策略，并通過遺忘因子構(gòu)造了變步長策略，使系統(tǒng)獲得了更優(yōu)的參數(shù)值，更好地平衡了算法的收斂速度、跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。但是，這些改進方法都無一例外地引入了額外的自適應(yīng)濾波器，使得計算的復(fù)雜性大幅提高，產(chǎn)生了不必要的計算量，這一問題阻礙著噪聲主動控制技術(shù)在微處理器平臺上的實現(xiàn)。在主動噪聲控制應(yīng)用中，由于次級聲通道的存在，將會使進入控制算法的誤差信號產(chǎn)生延時，進而導(dǎo)致誤差信號與參考信號二者在時序上出現(xiàn)差異，造成算法的不穩(wěn)定。這一點也會因為復(fù)雜的聲學(xué)環(huán)境而被放大，控制系統(tǒng)將無法正常地完成控制任務(wù)。達到滿意的消聲效果的必要條件是對隧道中聲學(xué)環(huán)境的準確評估，這主要就需要對次級聲通道進行辨識。

考慮到噪聲主動控制的實際應(yīng)用一般是基于微處理器平臺實現(xiàn)的，在滿足計算復(fù)雜度的前提下需盡可能快地提高其次級通道辨識的速度與準確性，這也是上述算法很難應(yīng)用在實際場合中的主要原因。本文將自適應(yīng)算法中較為成熟的 “比例”、“歸一化”等思想應(yīng)用在了地鐵通風(fēng)隧道的次級通道辨識場合，在不需要增加額外自適應(yīng)濾波器的前提下改善了次級聲學(xué)路徑的辨識性能。

1 次級通道辨識

次級聲通道的辨識就是對實際的聲學(xué)物理通路傳遞函數(shù)的估計過程，其實際的物理模型一般被稱之為對象。

由圖1可知，主動噪聲控制系統(tǒng)的核心是設(shè)計合適的控制器，其結(jié)構(gòu)一般為線性自適應(yīng)濾波器。線性自適應(yīng)濾波器一般由兩部分組成：特定結(jié)構(gòu)設(shè)計的濾波器和相應(yīng)的自適應(yīng)算法。濾波器結(jié)構(gòu)一般選定為有限脈沖響應(yīng)（FIR）結(jié)構(gòu)。在主動噪聲控制的實際應(yīng)用中，常用的自適應(yīng)算法是基于最小均方誤差準則的算法，其中包括最小均方算法（LMS）及以此為基礎(chǔ)的改進算法。在實際的應(yīng)用中，還必須就具體的應(yīng)用背景對相關(guān)算法做出改進，本文所用的噪聲控制算法是濾波?X最小均方算法（FXLMS）。

圖1 主動噪聲控制系統(tǒng)的原理Fig.1 Principle of active noise control system

在圖1中，P（z）為參考傳聲器到誤差傳聲器之間的主路徑傳遞函數(shù)，S（z）為次級揚聲器到誤差傳聲器之間的次路徑傳遞函數(shù)，W（z）為控制器傳遞函數(shù)，x（n）為初始噪聲信號，d（n）為初始噪聲經(jīng)過主聲學(xué)通道P（z）后的期望噪聲信號，y（n）為次級聲源發(fā)出的“抵消噪聲”，e（n）為噪聲抵消后的殘余誤差信號。由圖1可得

假設(shè)控制器W（z）收斂到最佳值，此時誤差信號 e（n）＝0，即

則 W（z）可表達為

由式（3）可知，控制器傳遞函數(shù)W（z）是與次級通道傳遞函數(shù)S（z）密切相關(guān)的，次級通道的建模與辨識是必不可少的［11］。

設(shè)計次級聲學(xué)路徑的建模框圖如圖2所示。

圖2 次級聲學(xué)路徑建模框圖Fig.2 Block diagram for secondary path modeling

在圖2中，信號源為噪聲發(fā)生器，x（n）為實際的噪聲信號，S（z）為未知的次級聲學(xué)路徑傳遞函數(shù)，Sh（z）為通過自適應(yīng)算法辨識出的模擬次級聲學(xué)路徑傳遞函數(shù)，e（n）為殘差信號。假設(shè)傳遞函數(shù)Sh（z）權(quán)向量為Sh（n）＝［b0（n） b1（n） …bM-1（n）］T，M 是濾波器長度，X（n）＝［x（n） x（n-1） … x（n-M ＋ 1）］T為輸入向量，則自適應(yīng)濾波流程為：

1）初始化；

2）更新：n＝1，2，3，…

濾波：y（n）＝ShT（n）X（n）

誤差估計：e（n）＝d（n）-y（n）

權(quán)向量更新：Sh（n ＋ 1）＝Sh（n）＋ μe（n）X（n）

其中，μ是用來控制穩(wěn)定性和收斂速度的步長參數(shù)。μ值越大，算法收斂越快，但穩(wěn)態(tài)誤差也越大；μ值越小，算法收斂越慢，穩(wěn)態(tài)誤差越小。綜合考慮，一般必須滿足0 ＜ μ ＜2/MPin，Pin＝E［X2（n）］為輸入功率。采用固定步長μ，就很難滿足算法追求的快速收斂性能。為了改善算法的快速收斂性能，對權(quán)向量的更新做歸一化，權(quán)向量的更新表達式為

式（4）中，δNLMS為一極小正值，用于防止在初始化時由于分母為0而導(dǎo)致算法無法運行。

盡管在進行歸一化后，算法的快速收斂性得到了一定程度的改善，但其尚不足以滿足實際的應(yīng)用需求。本文將比例的思想融入自適應(yīng)算法中以加快算法的收斂速度，同時保持了較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量。比例化的自適應(yīng)算法充分利用了沖激響應(yīng)中的稀疏性（Sparse）的結(jié)構(gòu)特征［12］。稀疏性結(jié)構(gòu)特征是指這樣一種特性：在描述沖激響應(yīng)的大量數(shù)據(jù)中，大部分的系數(shù)均為0或較小的值，只有少量的系數(shù)具有較大的值。稀疏性通常用來衡量沖激響應(yīng)的能量集中程度，狹小的封閉空間或回聲路徑等通常都是一個典型的稀疏性沖激響應(yīng)（Sparse Impulse Response）。傳統(tǒng)的自適應(yīng)算法影響其收斂性能的一個原因就是其為所有的系數(shù)配上了相同的步長因子，這樣就導(dǎo)致較小的系數(shù)能夠很快得到收斂，但較大的系數(shù)需要經(jīng)過多次迭代才能夠收斂到最優(yōu)值。利用比例思想的自適應(yīng)算法為小系數(shù)配上了小的步長因子，為大系數(shù)配上了較大的步長因子，從而加快了其收斂速度。融入比例思想的自適應(yīng)算法在其自適應(yīng)過程中，通過引入一個步長控制矩陣K（n）來分別為各個濾波器系數(shù)賦予不同的步長。

式（5）中，M為濾波器的長度。

式（7）中，μ為算法的固定步長，K（n）為步長控制矩陣，δ為防止算法發(fā)散的一個極小正值。將式（5）代入式（7），即可得到比例歸一化LMS算法。

2 數(shù)值分析與實驗

評價自適應(yīng)算法主要從收斂性能、穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能、計算復(fù)雜度、魯棒性等幾個方面來考慮。在主動降噪的實際應(yīng)用中，對算法的評價將更加側(cè)重于收斂性能、穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能。收斂速度的快慢可以表征算法能否在非平穩(wěn)的環(huán)境中準確地跟蹤權(quán)系數(shù)的變化；穩(wěn)態(tài)失調(diào)則表征了在權(quán)系數(shù)收斂到最優(yōu)值時，由噪聲梯度估計引起的瞬時偏差產(chǎn)生的額外最小均方誤差。由于在LMS算法中，系數(shù)的跟蹤能力依賴于輸入信號相關(guān)矩陣的特征值，在仿真中將采用多種稀疏度不同的沖激響應(yīng)來充分驗證算法的性能。

輸入信號為白噪聲信號，目的在于充分激勵沖激響應(yīng)的各個頻率分量。在實際工程應(yīng)用中，可以根據(jù)需要選擇合適的輸入噪聲信號，用以激勵特定的頻率分量。其中，考慮到輸入信號的自相關(guān)矩陣原因，LMS算法的步長選擇為0.003（步長單位均為 1），NLMS與 PNLMS的步長則選為0.1。

圖3為算法模擬的沖激響應(yīng)。從圖3中截取部分細節(jié)進行放大，紅色曲線為初始沖激響應(yīng)，黑色曲線為LMS算法的識別結(jié)果，藍色曲線為歸一化LMS算法的識別結(jié)果，綠色曲線為比例歸一化LMS算法的識別結(jié)果。可以看出，對于該沖激響應(yīng)，3種算法模擬出的沖激響應(yīng)基本上均能與次級通道的實際沖激響應(yīng)相吻合。但在沖激響應(yīng)系數(shù)變化較大時，仍能看出PNLMS算法的吻合度要高于其他兩種算法，這表現(xiàn)為綠色曲線對紅色曲線的跟蹤最為準確。圖4為高稀疏度沖激響應(yīng)條件下算法的仿真結(jié)果。從圖4（a）可以看出，PNLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最小，LMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最大，說明PNLMS算法的穩(wěn)定性要好于其他兩種算法。從圖4（b）可以看出，PNLMS算法的收斂速度最快。在算法穩(wěn)定的情況下，3種算法的最小均方誤差均能穩(wěn)定維持在一個很小的區(qū)間內(nèi)，這充分說明PNLMS算法在處理具有稀疏性結(jié)構(gòu)特征的沖激響應(yīng)時的優(yōu)勢。

圖3 算法模擬的沖激響應(yīng)Fig.3 Impulse response simulated by algorithms

圖4 高稀疏度沖激響應(yīng)的算法性能對比Fig.4 Performance comparison of algorithms for impulse response with high sparse

圖5為系統(tǒng)沖激響應(yīng)在稀疏程度降低、其他參數(shù)均相同的情況下的仿真結(jié)果。可以看出，隨著稀疏性程度的降低，LMS算法的性能有了較大的退化。在圖5（a）中，LMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量逐漸增大；在圖5（b）中，LMS算法的收斂速度也嚴重減慢。對比圖4（b），在迭代次數(shù)為20時能夠收斂退化，到迭代次數(shù)為30時才能收斂。同樣，在穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能與收斂性能上，NLMS算法也有了一定程度的退化，只有PNLMS算法維持了很好的收斂性能，保持著較低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量和較快的收斂速度。

圖5 稀疏度降低時算法性能對比Fig.5 Performance comparison of algorithms for impulse response with low sparse

為了對上述仿真結(jié)果進行驗證，設(shè)計了地鐵通風(fēng)隧道噪聲次級聲通道的辨識實驗。實驗依據(jù)國標 《城市軌道交通車站站臺聲學(xué)要求和測量方法》（GB 14227?2006），測量時傳聲器應(yīng)置于車站站臺中部、距地面高度為1.6m的位置。傳聲器前端應(yīng)朝向被測列車的軌道一側(cè)，其軸向與線路方向垂直，測量時傳聲器應(yīng)使用風(fēng)罩。實驗設(shè)計原理如圖6所示。

圖6 隧道次級聲通道辨識實驗原理圖Fig.6 Block diagram for secondary path modeling in tunnel

采集地鐵通風(fēng)隧道中的實際噪聲，根據(jù)上述步驟，辨識出的次級通道沖激響應(yīng)如圖7所示。

圖7 隧道實際沖激響應(yīng)Fig.7 Actual secondary path impulse response of tunnel

圖8為沖激響應(yīng)條件下算法的實際結(jié)果。由圖8（a）可以看出，LMS算法的收斂速度明顯慢于另外兩種算法，且其穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最大，NLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量也稍稍高于PNLMS算法。由圖8（b）可以看出，PNLMS算法在收斂速度上占有一定優(yōu)勢，而LMS算法在70次迭代的時間內(nèi)仍未完成收斂。在實際的地鐵通風(fēng)隧道主動降噪系統(tǒng)中，采用PNLMS算法不僅能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，而且還能保證較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量，對整個主動降噪系統(tǒng)的穩(wěn)定與性能都有著明顯的優(yōu)化效果。

圖8 實際沖激響應(yīng)算法辨識性能對比Fig.8 Performance comparison of algorithms for the real sparse impulse response

3 結(jié)論

由于地鐵通風(fēng)隧道的復(fù)雜環(huán)境，次級通道的辨識問題始終是其噪聲主動控制的一個重點。使用單一的LMS算法進行辨識，效果完全無法適應(yīng)地鐵通風(fēng)隧道復(fù)雜多變的環(huán)境，故本文使用比例歸一化改進的LMS算法來對次級聲學(xué)通道進行辨識。從仿真與實驗的對比結(jié)果可以看出，使用PN?LMS算法能夠加快自適應(yīng)算法的收斂速度，穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能也能保持恒定，可提升次級聲通道辨識的精確性與及時性，最終使得噪聲控制效果有了較大幅度的提升。值得說明的是，本文式（6）中的α的取值為固定值0，這會導(dǎo)致PNLMS算法的性能介于NLMS算法與LMS算法之間，無法始終保持最優(yōu)性能。對不同的沖激響應(yīng)進行預(yù)判，從而自適應(yīng)地選擇合適的α值，是本文進一步的工作重點。