環(huán)論中若干典型問題探究

張?jiān)? 齊雪

摘 要：環(huán)是群在定義上的進(jìn)一步延伸，但環(huán)又比群多了一重代數(shù)運(yùn)算，文章首先對(duì)環(huán)的定義進(jìn)行詳細(xì)闡述，之后再對(duì)環(huán)論中若干典型問題進(jìn)行探究，并盡可能給出詳細(xì)的解法。

關(guān)鍵詞：環(huán)論;群;代數(shù)運(yùn)算;近世代數(shù)

在之前高等代數(shù)中已然對(duì)整數(shù)環(huán)做過闡述，只不過當(dāng)時(shí)不叫整數(shù)環(huán)，只是提到“數(shù)域”這個(gè)概念，并明確規(guī)定數(shù)域?qū)τ诩訙p乘除四則運(yùn)算是封閉的，實(shí)際上數(shù)域就是交換除環(huán)，即環(huán)的一種。而近世代數(shù)中環(huán)論則進(jìn)一步對(duì)環(huán)的概念進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，從而使得讀者對(duì)于環(huán)論有了更加深切的了解。

1 環(huán)的定義

將一個(gè)集合R稱為一個(gè)環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)（1）R對(duì)于加法來說作成一個(gè)交換群;（2）R對(duì)于乘法來說是封閉的;（3）R關(guān)于乘法滿足結(jié)合率;（4）R關(guān)于加法與乘法滿足分配律。（注：這里所說的加法與乘法均指代數(shù)運(yùn)算。）

2 環(huán)的若干典型題目

例1 證明：由所有實(shí)數(shù)（是整數(shù)）作成的集合對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)整環(huán)。

證明：當(dāng)是整數(shù)的時(shí)候，

其中依然是整數(shù)。從而對(duì)于普通加法和普通乘法而言依然是閉的，下面來證明普通加法和乘法適合結(jié)合律、交換律和分配律。由于對(duì)任意，有，此外，從而R可以作成一個(gè)交換群，又因?yàn)椋瑥亩f明兩個(gè)非零實(shí)數(shù)的乘積不等于零，從而證得是一個(gè)整環(huán)。

例2 假定是一個(gè)有四個(gè)元的域，證明：（1）的特征是2;（2）的不等于0或1的兩個(gè)元都適合方程。

解：（1）的特征為的非零元的相同的階，而且是一個(gè)素?cái)?shù)，又作為加群的階是4，故而的非零元的階只可能是1，2或4，并且這中間只有2為素?cái)?shù)，從而證得的特征為二。從而加群與克萊因四元群同構(gòu)。

（2）第二方面，乘群的階為3，從而為一個(gè)循環(huán)群，且的元為。從而，又因?yàn)榧尤汉屯瑯?gòu)，從而有，，故而的不等于0或1的兩個(gè)元和全部適合方程。

例3 求證有理數(shù)域Q是所有復(fù)數(shù)（a，b是有理數(shù)）作成的域的獨(dú)一無二的真子域。

證明：容易證明是一個(gè)域，顯然是的真子域，設(shè)是的任意一個(gè)子域。從而含有元素，因而含有元素。根據(jù)此得到含有一切整數(shù)和一切有理數(shù)，從而含有：，則，那么至少有一個(gè)數(shù)，從而。根據(jù)此而得到，含有一切而。從而證得是的唯一的真子域。

例4 我們假定I是一個(gè)唯一分解環(huán)而Q是I的商域，證明：的一個(gè)多項(xiàng)式如果可以在里可約，那么它在里面也一定可約。

證明：不妨可令為的一個(gè)多項(xiàng)式，并且在里面也是可約的，可以寫成，這里面要注意為的一個(gè)本原多項(xiàng)式，原因是因?yàn)閐是Q的一個(gè)單位而在里面是可約的，于是根據(jù)引理3，我們可以得到結(jié)論在里面是可約的。

例5 假定是整環(huán)I上的一元多項(xiàng)式環(huán)，屬于但不屬于I，并且還有的最高系數(shù)是I的一個(gè)單位，現(xiàn)在來證明在里面是可以分解的。

證明：（i）首先我們假設(shè)以下的簡(jiǎn)單事實(shí)是成立的：若a和b是I的元素，是I的一個(gè)單位并且還有，那么a和b就都是I的單位，這里是因?yàn)椤?/p>

（ii）我們現(xiàn)在來證明，在里面是完全可以分解成為有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積。如果本身為的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，那么用不著再證明什么了，我們假設(shè)在里面是可約的，則我們有，我們知道這里是的真因子。我們知道如果里面有一個(gè)元素屬于I，我們比如，那么我們知道a與的最高系數(shù)b的乘積等于的最高系數(shù)，我們知道這里如果依據(jù)題設(shè)是I的一個(gè)單位，因此我們可以根據(jù)（i），a也是I的一個(gè)單位，與a是的一個(gè)真因子的假設(shè)是完全矛盾的，我們知道這樣與的次數(shù)都將大于零因而都小于的次數(shù)，并且由于（i），與的最高系數(shù)都是I的單位，我們知道因此可以同樣的對(duì)與進(jìn)行對(duì)的論證過程。我們知道由于的次數(shù)有限，最后可以在里面將分解為有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積。

例6 我們假定I是一個(gè)主理想，并且我們還有，證明：d是a和b的一個(gè)最大公因子，因此a和b的任何最大公因子d都可以寫成如下的形式：。

證明：我們知道由于得到，因此我們有d整除a，而且d整除b，我們知道另一方面d是a和b的一個(gè)最大公因子，并且還知道從而可得到，因此我們可以很容易得到結(jié)論c整除a，以及c整除d，從而我們可得c整除p，也就是說a和b的任何一個(gè)公因子c都能整除d，所以我們可以肯定的說d是a和b的一個(gè)最大公因子。另一方面我們知道如果為a和b的任何一個(gè)最大公因子，那么我們一定有是d的相伴元，也就是說我們一定會(huì)有結(jié)論（是I的一個(gè)單位），因此我們一定有。

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