八種化歸策略助你輕松解題

李蘇娟

(江蘇省興化市戴澤初級中學 225721)

“化歸”是轉化和歸結的簡稱，所謂化歸思想，就是把所要解決的問題轉化歸結為另一個較易解決的問題或已經解決的問題，具體地說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，把“復雜”轉化為“簡單”，把“陌生”轉化為“熟悉”.一言以蔽之，解題過程的實質就是轉化過程.化歸思想注重尋求問題與已有知識經驗的邏輯關聯，從而化生為熟、化繁為簡、化隱為顯、化難為易，使問題得以順利解決.下面舉例說明常用的八種化歸策略，希望能助你輕松解題.

一、多元向一元化歸

例1 (2006年全國初中數學競賽試題)已知a，b，c為整數，且a+b=2006，c-a=2005.若a

分析要求a+b+c的最大值，由于a，b，c都是不確定的整數，所以這里有三個變元．為了減少變元的個數，我們可利用已知條件a+b=2006，c-a=2005，采用消元法來達到目的．

解將a+b=2006，c=a+2005兩邊相加得a+b+c=a+4011．因為a

點評這里待確定最大值的代數式中有三個變元，確定每一個變元的最大值都有一定的難度．我們利用整體思想，從整體上思考a+b+c的最大值，再借助于消元法得到只有一個變元的代數式a+4011，從已知條件中找出a的最大值，則問題就迎刃而解了．解決多元問題的基本思想是消元，將其轉化為一元，消元的基本方法是代入法和加減法．

二、高次向低次化歸

分析注意到求值式中含有m2，而已知條件m2-3m+1=0可以變形為m2=3m-1，利用它即可運用逐步降次的方法來求出代數式的值.

點評本題若將求值式直接通分，則會出現4次方，求值困難.一般地，對于高次問題，常采用上述方法來逐步降次，達到解決問題的目的.下面的問題你不妨運用這個方法試一試：

(2017年四川省內江市中考題)若實數x滿足x2-2x-1=0，則2x3-7x2+4x-2017=____.(答案：-2020)

三、分式向整式化歸

A．-1或3 B．-1 C．3 D．1或-3

分析把分式方程轉化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最簡公分母x(x+1)進行檢驗，排除增根即可．

解方程兩邊同時乘以x(x+1)，得3=x(x-2)，整理得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.當x=-1時，x(x+1)=0，舍去；當x=3時，x(x+1)=12≠0，所以x=3是原分式方程的解，選C.

點評解分式方程的基本思想是轉化，即將分式方程轉化為整式方程來求解.但必須注意：(1)去分母時各項都要乘最簡公分母，不能漏乘；(2)去括號時要注意括號前的符號；(3)移項要變號；(4)一定要檢驗.

四、無限向有限化歸

例4 (2017年浙江省衢州市中考題)如圖1，正△ABO的邊長為2，O為坐標原點，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正方形作無滑動的翻滾，經一次翻滾后得△A1B1O，則翻滾3次后點B的對應點的坐標是，翻滾2017次后AB中點M經過的路徑長為．

分析先求出點B和點B3的坐標，再探究出其中的規律后，利用規律將無限向有限轉化，進而解決問題．

點評本題考查點的運動軌跡的確定及其長度的計算、規律的探索、扇形的弧長公式、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是從特殊到一般探究出規律，再利用規律將無限向有限化歸，進而順利地解決問題．

五、部分向整體化歸

例5 (2017年遼寧省朝陽市中考題)如圖2，分別以五邊形ABCDE的頂點為圓心，以1為半徑作五個圓，則圖中陰影部分的面積之和為( ).

解∵五邊形的內角和為(5-2)×180°=540°，∴5個圓形的空白部分的面積之和

點評有些問題，從表面上看要局部求出有關量，但若從整體上去把握這些量之間的關系，則思路更明朗，方法更巧妙.

六、陌生向熟悉化歸

例6 (2017年四川省宜賓市中考題)規定：[x]表示不大于x的最大整數，(x)表示不小于x的最小整數，[x)表示最接近x的整數(x≠n+0.5，n為整數)，例如：[2.3]=2，(2.3)=3，[2.3)=2．則下列說法正確的是．(寫出所有正確說法的序號)

①當x=1.7時，[x]+(x)+[x)=6；

②當x=-2.1時，[x]+(x)+[x)=-7；

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為1

④當-1

分析根據規定的[x]、(x)、[x)的意義，將陌生的數的計算、方程與不等式的解法和函數圖象的交點坐標問題轉化為常規的問題來處理，再結合給出的說法進行判斷，得到答案.

點評對于新定義運算問題，關鍵是要認真讀題，正確領會所給運算規則，將其轉化為常規運算來處理.由于[x)表示最接近x的整數，為了排除x=n+0.5(n為整數)的情況，題目附加了條件x≠n+0.5(n為整數)，因此需要將-1

七、數形之間化歸

圖4也是一種無限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，過點C作CC1⊥AB于點C1，再過點C1作C1C2⊥BC于點C2，又過點C2作C2C3⊥AB于點C3，如此無限繼續下去，則可將△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn-2Cn-1Cn、….假設AC=2，這些三角形的面積和可以得到一個等式是．

點評這里通過對圖形的無限分割，借助于圖形面積的計算，利用總體等于部分之和，得到了一個數量等式，是數形之間化歸的典范．

八、實際問題向數學問題化歸

例8 (2017年浙江省紹興市中考題)如圖5為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F．若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為m．

分析本題的難點是如何用小敏行走的路程來求小聰行走的路程，即小聰行走的路程與小敏行走的路程存在怎樣的關系.比較兩人走的路線，發現小敏走的路程為AB+AG+GE=1500+(AG+GE)=3100，則AG+GE=1600 m，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+(DE+EF)．下面關鍵是尋找AG+GE與DE+EF的關系，這樣就把實際問題轉化為數學問題.觀察圖形可知，正方形的對角線平分一組對角，GE⊥DC，易得DE=GE，于是只要說明AG=EF即可，而EF是矩形CEGF的對角線，易知EF=CG.于是，連接CG，由正方形的對稱性易知AG=CG，從而問題獲解．

點評本題初看上去比較復雜，但經過分解化歸，問題得到了簡化，即尋找AG+GE與DE+EF的關系，再結合幾何圖形的特點，便將問題化歸為說明正方形中兩條線段相等的問題，然后運用正方形、矩形的有關知識，很快找到了解決問題的途徑.至此我們發現，本題主要考查正方形的性質、全等三角形的性質和判定、矩形的性質及等腰三角形的性質．解決問題的關鍵是證明AG=EF，DE=GE．