由《三體》到鋸齒波有效值

王浩文

摘 要：中學教材中著重講述了正弦交流電的有效值規律，而其它有效值的計算需用微積分求得。本文通過對劉慈欣三體小說的一番研究，發現其與交流電有效值有一定的關聯。通過該研究，發現鋸齒波有效值可以利用簡單的數學方法進行計算。這里介紹兩種方法，即代數法和幾何法。

關鍵詞：鋸齒波交電流;有效值;三體

1 引言

通過對劉慈欣三體小說的仔細翻閱，不難發現書中有一段話大致是這樣記載的：“無線細節不管何時都是他們必須去面對的一種視覺上現象。世界是多維的，從三維來看，人類在視覺上就不會面對無線細節，而是有限細節。這也不難理解，例如你所研究的現象極其復雜和繁瑣，但只要你研究的夠仔細，夠認真，且時間上合理利用，就能把大部分的現象研究透徹，也就是大部分的細節會被展示出來。然而如果站在四維的角度來看，其實三維事物不管在哪個層次的思維視野中都是暴露的，導致原來封閉和看不見的一切都將平行并列出來。”然而這種現象正是莫沃維奇與關一凡博士在“萬有引力”號上第一次進入四維世界時所看到。于以上的片段我產生了思考：既然三維事物在四維可以將無限細節盡收眼底，那么在解決品面問題時，能否轉化成三維空間中的問題呢？于是，我便聯想到了求解鋸齒波電流的有效值的問題。

2 有效值定義

人教版教材選修3-2指出：當交流電與恒定直流電通過等值電阻時，且該電阻在交流電的一個周期內產生的熱量相同，設定恒定電流用I表示，電壓用U表示，那么該恒定直流的電流I和電壓U可稱作交流電的有效值[1]。這種定義是有前提的，那就是保持通過相等電阻的時間相同，并且產生的熱量也一樣。這便說明有效值是平均值，代表著交流電產生的結果。因為電阻發熱與電流方向并無關系，因此計算整個周期的有效值并無必要，這種情況下可考慮半周期計算。然而生成的電流圖像呈規律性變化，也就是軸對稱圖像。因此有效值的計算可取其中的四分之一周期[2]。

3 代數法

如圖1所示，已知鋸齒波電流用I表示，最大值為，其中周期為，請通過代數法計算其有效值。

思路：剛剛看到這倒題時，我采用的是將其轉化成求二次函數與坐標所圍成的面積問題。

即W=（注為所有的實數）所以W可看成函數，時與x軸所圍成的坐標，但隨后便發現，這種方法要使用定積分的方法，且要求的值，在暫未學習的情況下，求知的心忍不住嘗試其他的方法，于是我開始了尋找初等數學解法的道路。最后經過一段時間的努力，找出了方法如下：

1）將（）分為n份，每一份長度為。

2）計算每一個內做的功為：

3）可拆分為I2和的乘積，其中I2可表示正方形的面積（邊長為I），可表示為一段長度，因此其乘積便立體圖形（正方體或長方體）的體積，用V表示。如圖2所示。

4）將所有小長方體累加可得下圖（如圖3），所有長方體累加起來的體積可近似看作一四棱錐。（如圖4）

最終由四棱錐的體積公式得：（一個周期內的焦耳熱）

將上述問題的方法進行總結，我提煉出了一數學計算方法，如下一題：

4 幾何法

5 總結

通過本次探究獲得了許多的收獲，在對于用常規方法不能輕松求解時，應該從它角度尋找解題方法，每一個角度都有可能是解題的關鍵之處。從以上可知，有時候利用簡單的初等初等數學方法也能去解答復雜的難題及繁瑣的計算。正如計算上述有效值一樣，通過計算利用的對稱知識、分割與逼近、數列求和、極限和數形結合等思想對引導學生應用數學處理物理問題有一定的啟發和借鑒作用。

參考文獻

[1]人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理（選修3-2）[M].北京：人民教育出版社，2007：39.

[2]張軍.交流電有效值有巧解[J].中學物理教學參考，2013，39（11）：23.