兩法歸一統

宋岑

摘要：高等數學教材在介紹定積分時，一般先講解定積分的概念，后給出牛頓—萊布尼茨公式來計算定積分。學生在學習過程中體驗了黎曼和的極限的復雜性，牛—萊公式的神奇性，但卻沒有真正搞清楚二者之間的關系，甚至因無法直接計算，對“分割、取近似、求和、取極限”的方法實用性產生了懷疑。本文重新從曲邊梯形面積問題出發，從解決問題尋找方法的角度梳理了黎曼和的極限與積分上限函數之間的關系，將這兩種方法與思想合二為一。

關鍵詞：定積分；黎曼和的極限；積分上限函數

高等數學中介紹的定積分又稱黎曼積分，它的定義非常獨特，采用了大量符號語言介紹了方法步驟，詳細描述了黎曼和的極限的計算方法。黎曼和的極限所用的“分割、取近似、求和、取極限”的方法是計算曲邊梯形面積的重要方法，而牛頓—萊布尼茨公式則是計算黎曼和的極限的公式。這部分內容看似邏輯清晰，先學方法后學計算，但其實二者之間的關系并沒有那么單純。換從解決問題尋找方法的角度重新思考曲邊梯形面積問題時，會得到一些有趣的結論，進而發現這些數學概念的真正內涵。

一、黎曼和的極限并沒有解決問題

在數學建模中，評價一個方法的好壞，最簡單的標準就是看該方法能否獲得答案。比如最優化路徑問題是數學建模中的經典問題，可以有很多種辦法去做。但專科學生受限于自身水平和時間，像神經網絡這樣的高難度算法，專科學生在短時間里一般無法掌握，無法真正計算出結果。沒有結果的論文就是一個空架子，所以神經網絡對專科學生來說并不是一個好算法。黎曼和的極限在計算曲邊梯形面積這個問題上，也如同一個空架子一般，看似把問題解決的很完美，但實際操作會發現，計算無限項之和的極限基本就是不可能的事情。雖然牛—萊公式給出了計算方法，但需要說明的是，它并不是直接解決了無限項之和的極限計算問題，而是另辟襲擊，尋找到了計算曲邊梯形面積的另一個新方法。所以從這個角度來說，黎曼和的極限并沒有真正解決問題。

二、積分上限函數是一個獨立的方法

牛—萊公式的證明過程中，最為核心的部分就是構造了積分上限函數 （如圖1）。

圖1 積分上限函數 的幾何意義與面積增量的無限累加

這是一個被構造出的函數，由于受其名稱和表示形式的影響，容易誤以為它的誕生需要依賴于定積分的概念。其實，這個函數完全可以脫離定積分的概念而存在，構造出這個能夠直接反應曲邊梯形面積動態變化的函數，是可以完全獨立的解決曲邊梯形面積問題的。下面是簡要的計算過程，由于可以參考牛—萊公式的證明，所以部分證明從略。為了說明其與定積分的概念無關，這里直接用符號 來代表積分上限函數。

構造函數 ， ， 的幾何意義如圖1所示。顯然若能得到函數 ，那么曲邊梯形的面積即為 ，問題得解。利用函數 自身的相關特性，易證 。利用不定積分的概念，設 是 的任意原函數，得 ，代入初始條件 ，確定常數 ，得特解 。代入 ，得 ，問題得解。

上述計算過程在名詞使用上，特意采用了微分方程的術語，因為從本質上來講，計算 的過程就是在計算一個微分方程的特解。只不過目標函數 與 之間的函數關系隱藏的非常深，當二者關系被證明后，原問題自然就轉化成了如下這個標準的微分方程問題。“已知微分方程 ，初始條件 ，求特解 ，并計算 。”

三、兩法歸一統

僅從解決問題的角度，黎曼和的極限不如積分上限函數來的有價值。甚至可以說黎曼和的極限竊取了積分上限函數的結果，強行把另一種解決曲邊梯形面積問題的方法，當作為是解決自身計算問題的方法。為什么教科書要如此“厚此薄彼”呢？下面給出理由。

黎曼和的極限促成了微元法的誕生。如果定積分只能求解曲邊梯形面積問題，那它根本不可能登上基礎學科數學的教科書，成為一個經典方法。把“分割、取近似、求和、取極限”的方法應用到其它領域和問題中，才是定積分最大的魅力。微元法可以把可以很多新問題，比如變力做功、液體壓力等問題轉化為寫微元后直接積分的問題，把很多理論分析的過程變成了操作性更強的具體方法。所以，雖然黎曼和的極限不能直接算，但它卻是一個可以最快將新問題標準化，寫出相應積分算式的方法。而積分上限函數所采用的這種類似求解微分方程的方法，卻正好與之相反，由于函數之間的導數關系難被發現和證明，這種方法難以推廣。但是它可以算。

同一個問題兩種方法，二者之間的互補性也非常的明顯。前者能列出算式但自己不會算，后者列不出算式但是能幫前者算。兩種方法各自都存在缺陷，但結合后就可以完美解決問題。前者作為經典方法被大力推廣，后者成為前者的計算公式，而這也是現在的高等數學教材所最終呈現的二者關系。黎曼和的極限的方法成為了定積分的概念，積分上限函數成為牛頓—萊布尼茨公式，為定積分的計算而存在。

四、兩種方法同一個思想

黎曼和的極限與積分上限函數在思想上其實是高度一致的。積分上限函數是一個處處體現了“分割、取近似、求和、取極限”思想的函數。考察變量 從 增加到 時，函數 的變化過程，可以認為整個曲邊梯形是在這個增加過程下逐步形成的。 隨著 的增加，不斷增大，其值時刻表示著由 到 函數 所決定的曲邊梯形面積。如圖1，記 處增量有 ，則面積增量為 ，當 時，面積增量 。

根據這個過程，整個曲邊梯形可以看作是由無數多個小長方形面積的增量累加所形成，而這個過程與黎曼和極限的思想不謀而合。積分上限函數就像是“分割、取近似、求和、取極限”這十個字的一個現實代言人。本文之前把變上限函數看作了一個解決曲邊梯形面積問題的獨立方法，但其思想卻和黎曼和的極限如出一轍。所以從思想上見本質，兩種方法歸根結底還是一種方法。

總結：本文從定積分那獨特的定義出發，從新角度深度解析曲邊梯形面積，為教科書中內容安排的合理性給出了說明，闡述了定積分的概念和牛—萊公式之間的真正關系，為學生學習定積分提供了一定參考。經典教科書中內容的安排都是很講究的，必須深度解析才能體會到其中的奧妙。