淺談歸納法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張柯依

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）01-0-01

歸納法簡介

歸納法是數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中使用較多的一種數(shù)學(xué)論證方法，常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明。從思維學(xué)上來說，歸納法是從特殊到一般的思維方法，主要通過從無數(shù)個別現(xiàn)象中歸結(jié)處共同的屬性，并得出一個普遍適用的結(jié)論。其最大的特征在于需要依靠大量的事例，并依據(jù)事例的充足程度分為完全歸納法和不完全歸納法。實踐證明，如果能夠合理的運用歸納法，有助于我們更好的探索數(shù)學(xué)規(guī)律，更好地理解和記憶數(shù)學(xué)現(xiàn)象。下面本文就簡單介紹一下何謂數(shù)學(xué)歸納法，并進一步說明數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，以及該如何正確利用歸納法，為后期研究提供研究思路和實驗數(shù)據(jù)。

一、歸納法

從歷史上來看，歸納法的分支，即完全歸納法是由‘英國唯物主義和整個現(xiàn)代實驗科學(xué)的真正始祖弗蘭西斯·培根（Francis Bacon，1561—1626）提出的。弗蘭西斯·培根提出歸納法的原因在于，他嘗試著從無數(shù)現(xiàn)象中，尋求一真實不變的本質(zhì)，是以在這一基礎(chǔ)上提出了共同屬性尋找方法—科學(xué)歸納法，并進一步將其歸納為‘歸納三部曲即收集材料（將自己認為有關(guān)的某些種類收集在一起）；運用求同、求異、求真三步驟來整理材料；形成共性的特征，并不斷在事物中驗證。后來，在弗蘭西斯·培根歸納法的基礎(chǔ)上，人們又進一步進行創(chuàng)新，提出了不完全歸納法，并積極將其用于生產(chǎn)生活等諸多領(lǐng)域，數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域也引進了這一歸納方法。

二、歸納法在數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的運用

在歸納法提出后，意大利數(shù)學(xué)家馬奧羅修勒斯，他在1575年的著作《算術(shù)》中首次將歸納法引入，并用其證明了正奇數(shù)相加的整體規(guī)律。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家開始關(guān)注和運用這一方法，并進一步體悟到歸納法對數(shù)學(xué)規(guī)律探索的意義。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚是就曾這樣說：“把數(shù)學(xué)歸納法學(xué)好了，對進一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)有幫助，甚至對認識數(shù)學(xué)的性質(zhì)，也會有所裨益[1]。”

正是由于其運用意義很大，是以廣泛運用于各個領(lǐng)域，主要包括不等式、等式分解，也常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立等。一般來說，使用數(shù)學(xué)歸納法論證，需要經(jīng)過以下幾個步驟。一是證明在某一條件下，某甲命題成立，這是遞推的基礎(chǔ)；二是假設(shè)在同一條件下，某甲+1命題成立，同時進一步證明當(dāng)甲+2一直到甲+N命題也成立，通過無限遞推，得出我們應(yīng)有的結(jié)論。之所以，我們能夠做出這一推論，在于意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾提出的皮亞諾自然數(shù)歸納公理，“任意一個自然數(shù)集合，1屬于；假定包含，也一定包含后繼數(shù)，則包含所有自然數(shù)[2]。”

這只是其中一個例子，我們知道很多數(shù)學(xué)家在探索過程中，提出了很多規(guī)律，但是為了保證準(zhǔn)確性，其所有的應(yīng)用都有一定的基礎(chǔ)，所以也就注定了其只能在有限的范圍內(nèi)運用，而不能無限的推廣。但是我們清楚，數(shù)學(xué)探究的樂趣就在于尋找規(guī)律，而且希望能夠通過一定的手段和證明，將尋找到的可能規(guī)律升級為普遍適用的公理。那么，如何將范圍內(nèi)成立的規(guī)律轉(zhuǎn)化為可以普遍使用的公理，將成為我們亟需解決的問題。數(shù)學(xué)歸納法就提供了解決這類問題的一種方法，而且這種方法并不是感性的認知，而是邏輯合理，遞推過程嚴格的證明方法，可以通過“有限來解決無限”的方式，來證明論斷的正確性。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的事項

歸納法是一項很實用的證明方法，為了保證能切實發(fā)揮其應(yīng)有的證明效能，我們在應(yīng)用時，要注意以下兩點。一是按照標(biāo)準(zhǔn)的方法來使用。簡單來說，使用數(shù)學(xué)歸納法，一定要完成兩步證明、一個結(jié)論。首先要在一定條件下，證明甲理論成立，從而為后續(xù)遞推打牢地基，提供堅實的基礎(chǔ)。然后在條件不變的情況下，再次證明甲+1這個結(jié)論也成立，并通過遞推的方式，證明甲+n也成立。最終依托共有的基礎(chǔ)，得出某一結(jié)論。這一結(jié)論就是甲所代表規(guī)律，在具備一定條件時，能夠普遍運用。目前在運用中的誤區(qū)在于，很多人會積極使用第一步，但對第二步未能有效進行，從而將數(shù)學(xué)歸納法，變?yōu)椴煌耆珰w納法，喪失了其推廣和便有限為無限的可能性。

二是在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的時候，重點在于第二步的推廣。在進行推廣時，一定要注意將假設(shè)命題成立這一個條件應(yīng)用進去，并再此基礎(chǔ)上，把這一條件當(dāng)作已知來充分利用，通過有邏輯的證明甲+N命題同樣也成立。在這期間一定要注意邏輯的準(zhǔn)確性，證明方式的合理性，否則就會成為妄自推斷，失去了歸納法應(yīng)用的本意。

四、結(jié)論與展望

通過上述內(nèi)容，我們可以知道數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的正確性的方法，廣泛運用于等式、整除、不等式、數(shù)列等問題，可以有助于我們理解和掌握數(shù)學(xué)知識，也有利于數(shù)學(xué)家完成專業(yè)探索。實踐證明正確運用數(shù)學(xué)歸納法，不僅可以助力我們學(xué)到數(shù)學(xué)知識，同時也能提升我們的思維，讓我們逐漸學(xué)會從紛紜萬物中尋求某一共性規(guī)律[3]，發(fā)現(xiàn)生活或者自然的本質(zhì)，更好運用其解決問題。從大的層面上來說，中國的醫(yī)學(xué)、中國的哲學(xué)思想、以及物理學(xué)中的‘牛頓的萬有引力都是這一思維運用的直接結(jié)果。希望所有人都能夠積極學(xué)習(xí)并掌握這一方法，以更好的理解數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、體悟生活、點亮人生。

參考文獻

[1]朱華偉，錢展望.數(shù)學(xué)解題策略.[M]，科學(xué)出版社，2009.08

[2]王飛.高中學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法前瞻性的研究.[D]，碩士論文，2016.08

[3]李佳.數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用思路探析.[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教育理論版），2016.12