圖形剪裁的優化問題

李東陽

摘 要：快遞已經成為了我們生活中的重要的一部分，現代城市中很少有人沒有網購的經歷，我們都知道網購的東西是需要包裝的，這些包裝就需要考慮如何節省材料的問題，這就是圖形剪裁的優化問題。本文將簡要的介紹下圖形剪裁中思考的模式，希望同學們能夠從分析的過程中得到一定的啟發，培養自己深入思考的能力，在學習生活中多想多做，取得進步。

關鍵詞：圓 正方形 圖形剪裁

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）01-0-01

一個10*10的正方形材料，能夠剪出多少個直徑為1的圓呢？

一般人都會脫口而出，能夠剪出100個圓，如圖1，把空間占據的滿滿的，一個多余的圓也剪不出來了。一眼看過去，確實是這樣，一個10*10的正方形分成100個小正方形，每個小正方形中可以剪出一個圓，不正是100個直徑為1的圓么。但是，朋友，這空出的面積雖然是不規則的，看起來難以利用的。但是想一想，圓周率是3.14，有0.86/4，也就是超過五分之一的面積被浪費掉了，這可以說是非常驚人的浪費了，工業上有這么高的浪費是不可接受的，一直以來有著數不盡的人為了提高工業原料利用率而努力。我們也應打破常規思維，提升原材料的利用率。

生活中我們應該能夠想到這樣一個問題，那就是一個圓形的硬幣，用同樣的硬幣繞它一周，周圍絕對不止放置4枚硬幣，6枚硬幣才是正確的結果。那么是否在剪裁的過程中同樣這樣考慮呢？于是我們有了第二種考慮辦法，那就是不再規則的排列能夠剪裁出來的圓，而是盡可能的密集的排列它們，我們發現，這種情況下我們有以10個小圓為1排的，也有以9個小圓為一個排的，但是我們多放了一排，一共有6排10個圓的，5排9個圓的，這樣我們放置的圓的總數就突破了100，達到了105個，如圖2。

如果你觀察足夠細致的話，就會發現整個正方形的最上方還有一塊空出的條形區域，那么能不能利用好這塊區域，能夠放下更多的圓呢？毫無疑問我們是可以做到的，在上一種方法中，我們有5排9個，6排10個，如果我們變成4排9個，7排10個，那就總數就能夠更上一層樓，變為106個[1]，如圖3。

現在我們已經解決了最初的問題，在一個10*10的正方形中可以剪裁出多少個直徑為1的圓，那么我們現在知道了是106個，我們有辦法證明這一點么？我們是否可以找到一種方案比較方便的計算出答案，而不是靠猜測——驗證這種比較原始的思路去解決問題呢？接下來我們繼續探索。

我們知道圓應該交錯的排列，這樣可以盡可能地降低每排圓的高度，這也是我們能夠從100個直接把成績提升到105個的主要原因，通過采用更緊密的排列方式，實際上降低了平均每排圓的高度，兩排圓之間重復利用了某些空間。除了兩端之外的圓，中間每排圓的實際占用的高度應該是，最上方和最下方排除一條，（10-1）÷0.866+1=11層，這樣，最終有6層10個的，5層9個的，共計105個圓。此時，整體的高度是0.866*10+1=9.66，可以看到還有一定的空間。于是我們考慮增加一排10個的，這樣依然不會超出邊界，可以計算出整體的高度是3+8*0.866=9.928，依然是小于10的，所以106個的方案依舊可行[2]。此時，我們判斷應該再增加一個應該是不可能的了，但是還是應該計算一下。5+0.866*6=10.196，此時我們發現在8層10個，3層9個的情況下，整體的高度已經超過了10，那么就不能夠完全在10*10的正方形內部了。因此最多就是106個圓。

這樣的數學證明還是不夠嚴謹，僅僅能夠在簡單的情況下證明，還有許多更加合理、更加簡明的方法等待著我們去探索。圖形剪裁是一門比較有趣的學問，值得深入的思考，更有其深刻的現實意義。生活中我們已經習慣了網購，習慣了快遞，但是毫無疑問，我們的生活中產生了越來越多的包裝垃圾。但是這些包裝確實是不能夠節省的，那么就只能想盡辦法去節約材料，節省成本，同時也能夠減少垃圾的產生，由此聯想到了原來的過度包裝問題。現在的過度包裝問題最早可以追溯到20世紀90年代末期，那時產生了奢華的月餅包裝，使得價格倍增，少則幾十多則上千，區區一盒月餅不足幾塊卻有著高昂的價格。這些過度包裝不禁使人想到了買櫝還珠的故事，鄭人買其櫝而還其珠，“此可謂善賣櫝矣，未可謂善賣珠也”[3]。

當然我們現在的包裝問題與當時的過度包裝問題不盡相同，但是核心都是為了簡化包裝，降低包裝的成本。在當今社會這樣發達的網購的背景下，減少包裝材料，在能夠保證對商品的保護的同時盡可能的降低成本，應該是一件不停歇的有意義的工作。

本文挑選了一個較為簡單的問題作為切入點，但是希望探討的是隱藏在問題背后的思維方式的問題。從100個提升到105個，是因為有改變思維定式的意識，10*10，直徑為1這樣明顯甚至有些誘導的條件，擋住了大部分人思考答案的能力，不假思索的提出了看似正確的答案。而從105提升到106個，則是對設計精益求精的結果，在追求正確的道路上需要重視每一個小的關鍵點。接下來的數學上的思考則是對我們得到的結果的一個支持，能夠從數學上證明一個方面做到了完美，才能夠暫時停止探索的腳步。

參考文獻

[1]醬紫君.關于“一個10*10的正方形里，最多可以放多少個直徑為1的圓？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8.

[2]Grinner.關于“一個10*10的正方形里，最多可以放多少個直徑為1的圓？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8-3.

[3]李曉丹.論節約型包裝設計[J].美苑，2013（04）：94-96.