MATLAB軟件在量子力學教學中的應用

鐘志有，龍 浩

(中南民族大學 電子信息工程學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

量子力學是普通高等院校許多理工科專業的一門學科基礎必修課程，它不僅被認為是現代物理學的兩大基本支柱之一，而且被廣泛應用于化學、材料學、生物學和宇宙學等有關學科和許多近代技術之中[1～6]。量子力學是反映分子、原子、原子核和基本粒子等微觀粒子運動規律的理論，是一門建立在公理體系上的科學，對初學者來說，人們普遍感到量子力學的概念抽象、理論性強、數學難度大、計算繁瑣、做題時束手無策，學習和掌握該課程的困難非常大[7～10]，因此教學效果不如人意。眾所周知，作為目前最為流行的數學工具軟件之一，MATLAB不僅具有強大的數值計算能力和功能齊備的可視化能力[11～15]，而且還具有簡單易學、運算效率高、應用范圍廣等特點，它在眾多領域得到了廣泛應用[16～20]。本文中，以一維諧振子和矩陣運算作為實例，闡述了MATLAB軟件在量子力學教學中的應用，實踐表明MATLAB的引入對于提高學生學習興趣和教學質量具有事半功倍的作用。

2 一維諧振子

自然界中常見的簡諧運動，任何體系在平衡位置附近的小振動(如分子的振動、晶格的振動、輻射場的振動等)，在選擇合適的坐標之后，常?？梢苑纸鉃槿舾蓚€彼此獨立的一維諧振動；另外，諧振動還可以作為復雜運動的初步近似。因此，對于諧振子的研究，無論是在理論上還是在應用上都是非常重要的[1,2]。

設一維諧振子的勢能U(x)=mω2x2/2，則對應的定態Schr?dinger方程為:

(1)

令方程(1)可化為:

ψ(ζ)″+(λ-ζ2)ψ(ζ)=0

(2)

對于方程(2)，當時，滿足有限性條件的漸近解為。再令，方程(2)可表示為：

H(ζ)″-2ζH(ζ)+(λ-1)H(ζ)=0

(3)

方程(3)稱為Hermite方程。當滿足關系式(=0，1，2，)時，其解為Hermitian多項式。綜上可以得到一維諧振子的能級為:

(4)

由式(4)看出，一維諧振子的能級是分立的，并且是均勻分布的，兩個相鄰能級之間的間距為。對應能量，一維諧振子波函數為:

(5)

根據式(5)，一維諧振子的概率密度可以表示為:

(6)

當n取值比較大時，Hn(αx)的表達式是非常復雜的，因此很難直觀討論波函數的物理意義。

基于公式(5)和(6)，利用MATLAB軟件編寫程序繪制出ψn(x)和wn(x)的分布圖像，如圖1所示。由圖可見，一維諧振子的波函數ψn(x)與橫坐標相交n次，即存在有n個節點。另外，概率密度wn(x)不僅隨x變化而變化，同時其值也與量子數n密切相關。MATLAB模擬結果與理論分析是完全相符的[1,5]。

3 矩陣運算

在量子力學中，當力學量算符和態矢量采用矩陣表示后，相應的公式和方程也可以通過矩陣進行描述[1,16]。在所研究的問題中，當所選表象的基矢量個數較少時，那么力學量算符和態矢量矩陣的維數較小，計算過程就相對簡單；但是當基矢量個數較多時，那么力學量算符和態矢量矩陣的維數就較大，因此計算復雜、工作量大。這時如果借助MATLAB軟件就可以使學生從枯燥繁瑣的計算過程中解脫出來，從而有利于調動他們的學習積極性、提高學習效率[21～25]。

(7)

圖1不同量子數時的波函數和概率密度曲線(取α=1)

從上述計算過程來看，求解這類問題不僅要求數學基礎好、演算能力強，同時計算工作量也非常之大。但利用MATLAB軟件進行處理，只要通過命令[V, D]=eig(A)就能得到矩陣A的本征值和相應的本征態。對于本題，只需在MATLAB的Command Window中輸入如下指令，就能獲得結果，如圖2所示。

圖2 Command Window中輸入的指令和運行結果

從圖2顯示的結果看出，程序運行不僅得到了算符的本征值，而且還得到了它們對應的本征函數，最后只需利用歸一化條件對本征函數進行歸一化就行了。很明顯，采用MATLAB軟件時，計算工作量大大減少。

4 結語

量子力學是反映微觀粒子運動規律的理論，是人們認識物質世界的思維方式和表達方式。本文針對學生在量子力學學習中所存在困難，通過引入MATLAB軟件進行繪圖和科學計算，從而使計算復雜的內容得以簡化，同時也使抽象難懂的內容得以形象化，因此，這不僅有利于在教學過程中簡化理論計算過程、強化物理實質講解，同時還能夠更好地調動學生學習量子力學的積極性，有效提高量子力學的教學質量。