循環(huán)群若干重要性質(zhì)的探討

摘 要：在《近世代數(shù)》中有一個(gè)非常重要的內(nèi)容，那就是群，而循環(huán)群是一種特殊的群，它具有很多性質(zhì)和應(yīng)用，在文章中給出了它的五條重要性質(zhì).

關(guān)鍵詞：循環(huán)群；生成元；群的階

在《近世代數(shù)》中循環(huán)群作為一類特殊的群，它的性質(zhì)有很多，下面給出它的五條重要而且常用的性質(zhì)。

定義 若一個(gè)群的每一個(gè)元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方，就把G叫做循環(huán)群，用符號(hào)G=（a）表示。

性質(zhì)1：一個(gè)循環(huán)群一定是一個(gè)交換群。

證明：設(shè)x=am和y=an是循環(huán)群G的任意兩個(gè)元，則xy=aman=am+n=yx，所以循環(huán)群G是交換群。

性質(zhì)2：（1）假定G是無限階的循環(huán)群，G是任何循環(huán)群，則G與G同態(tài)。

（2） 假定G與G是兩個(gè)有限循環(huán)群，它們的階各是m與n，若G與G同態(tài)，則nm。

證明：（1）設(shè)G=（a），G=（b），定義φ：ak→bk，k∈Z。因?yàn)镚=（a）是無限循環(huán)群，所以a為無限，從而ak=alk=l。于是，若ak=al，則φ（ak）=φ（al），故φ是映射。又易知φ是滿射且保持運(yùn)算，因此G與G同態(tài)。

（2） 因G與G同態(tài)，設(shè)φ為其一同態(tài)滿射，則G/KerφG，于是nm。

性質(zhì)3：循環(huán)群的子群和商群都是循環(huán)群。

例1：設(shè)循環(huán)群G=（a），N是G的一個(gè)子群且（G：N）=m。證明G/N是m階循環(huán)群且e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表。

證明：由性質(zhì)3知，G/N是循環(huán)群且N也是循環(huán)群。令N=（at），則易知N，aN，…，at-1N是G關(guān)于N的所有不同的陪集。

因?yàn)椋℅：N）=m，所以t=m，于是e，a，…，am-1可取作N的陪集的代表，從而G/N是由aN生成的m階循環(huán)群。

性質(zhì)4：（1）無限循環(huán)群有無限多個(gè)子群；

（2） 當(dāng)（a）為n階循環(huán)群時(shí)，對(duì)n的每個(gè)正因數(shù)k，（a）有且只有一個(gè)k階子群，這個(gè)子群就是（ank）。

證明：（1）設(shè)（a）為無限循環(huán)群，則易知（e），（a），（a2），…是（a）的全部互不相同的子群（且顯然（a），（a2），…都是無限循環(huán)群）。

（2） 設(shè)（a）為n階循環(huán)群，則a=n，又設(shè)kn，并令n=kq，則aq=k，從而（aq）是（a）的k階子群。又設(shè)N也是（a）的一個(gè)k階子群，則由性質(zhì)3，設(shè)N=（am），則am=k，但am=n（m，n），從而n（m，n）=k，n=k（m，n）。由上及n=kq得q=（m，n），qm，于是am∈（aq），（am）（aq）。但由于（aq）和（am）的階都是k，故（am）=（aq），即（a）的k階子群是唯一的。

性質(zhì)5：無限循環(huán)群（a）有兩個(gè)生成元，即a和a-1；n階循環(huán)群有φ（n）個(gè)生成元，其中φ（n）為歐拉函數(shù)。

證明：當(dāng)a=∞時(shí)，（a）只有生成元a和a-1。

當(dāng)a=n時(shí)，元ak（0

例2：設(shè)G是n階循環(huán)群，若G中有m階元素，則G中恰有φ（m）個(gè)m階元素。

證明：因G為n階循環(huán)群，且G中有m階元素a，則（a）為m階循環(huán)群，由性質(zhì)5知（a）有φ（m）個(gè)生成元，即（a）中有φ（m）個(gè)階為m的元素。

設(shè)b為G中任一個(gè)階為m的元素，則（b）也是G的一個(gè)m階循環(huán)子群，但由性質(zhì)4知，循環(huán)群G只有一個(gè)m階子群，故必（b）=（a），從而b∈（a），即G的m階元素全在（a）中，因此，G中恰有φ（m）個(gè)m階元素。

參考文獻(xiàn)：

[1]張和瑞著.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]楊子胥編.近世代數(shù)習(xí)題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003（1）.

作者簡(jiǎn)介：

霍鳳茹，河北省衡水市，衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系。