不定積分的一題多解問題

摘 要：換元積分法是不定積分計算的一個重點也是一個難點，在教學過程中發現學生對不定積分的換元積分的計算掌握的不是很好。本文通過具體的例子，給出了同一個不定積分題目的五種不同的換元方法，從而更好地掌握不定積分換元積分的計算。

關鍵詞：不定積分；第一換元積分法；第二換元積分法

從該例的五種解題方法中我們可以看到不定積分換元積分法的靈活性，同一個不定積分有時可以用第一換元積分法來求解，也可以用第二換元積分法求解。本例中方法（一）和方法（二）用的是第二換元積分法中的三角換元、方法（三）和方法（四）用的是第二換元積分法中的根式換元、方法（五）用的是第一換元積分。

不定積分計算中需要注意：

（1） 在不定積分的計算中，選用的方法不一樣，最后得到的不定積分的表達形式可能相同也可能不相同，如方法（一）和方法（二）得到的結果的表達式就不一樣。

（2） 在不定積分的計算中，首先要考慮被積函數的定義域，換元之后要考慮中間變量的范圍，在教學過程中很多學生都會忽略定義域的問題，從而丟失一部分解。

（3） 在不定積分計算中第一換元和第二換元積分法有時會結合起來一起用。

參考文獻：

[1]隋如彬，吳剛，楊興云.微積分（經管類）[M].北京：科學出版社，2013（7）.

[2]吳贛昌.微積分（經管類）[M].北京：中國人民大學出版社，2008（4）.

作者簡介：

王仲梅，湖南省長沙市，湖南商學院數學與統計學院。