彈丸姿態(tài)解算初始地磁分量誤差分析

鮑廣建，丁立波，張 合

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

智能彈藥是武器信息化的重要組成部分，實(shí)現(xiàn)常規(guī)彈藥的精確制導(dǎo)打擊，對于掌握戰(zhàn)爭的主動(dòng)權(quán)，有著至關(guān)重要的作用[1-2]。常規(guī)彈藥的制導(dǎo)一般采取彈道修正的辦法。在發(fā)射前，測量好與目標(biāo)的相對距離和角度；在飛行過程中，進(jìn)行計(jì)算自身姿態(tài)，實(shí)時(shí)調(diào)整自身，以確保落點(diǎn)正好落在預(yù)定目標(biāo)處。計(jì)算自身姿態(tài)的方法，一般采取地磁傳感器、陀螺儀、MEMS加速度計(jì)等[3-4]。基于地磁的解算方法，以其穩(wěn)定、干擾性小、抗過載能力強(qiáng)、可靠性高、成本低的特點(diǎn)，成為近年來制導(dǎo)彈藥的發(fā)展方向之一[5]。基于地磁信息的彈藥姿態(tài)算法，是通過已知發(fā)射地區(qū)的地磁三分量信息和實(shí)際的彈丸上的地磁分量，彈體坐標(biāo)系和地面坐標(biāo)系之間存在的換算關(guān)系，其變換矩陣是以彈丸的三個(gè)姿態(tài)角為基準(zhǔn)。解算時(shí)，需要知道地磁信息和彈丸的其中一個(gè)姿態(tài)角去解算另外兩個(gè)姿態(tài)角，方便進(jìn)行調(diào)整。目前，一般利用電腦軟件信息，預(yù)先獲取發(fā)射地的地磁三分量。地磁三分量準(zhǔn)確度影響著彈丸姿態(tài)角準(zhǔn)確度。本研究針對地磁三分量對彈丸姿態(tài)角的影響進(jìn)行誤差分析。

1 彈丸姿態(tài)解算方法

1.1 坐標(biāo)系定義與變換

圖1 坐標(biāo)系

(1)

(2)

最后由坐標(biāo)系OXaYaZa繞OXa正向旋轉(zhuǎn)γ角度得到OXbYbZb，此時(shí)的轉(zhuǎn)換矩陣為

(3)

由上面三個(gè)矩陣可以得到總的變換矩陣為

L(γ,θ,φ)=L(γ)L(θ)L(φ)

(4)

即是

L(γ,θ,φ)=

(5)

其中：γ為滾轉(zhuǎn)角；θ為俯仰角；φ為偏航角。

1.2 姿態(tài)角解算方法

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分析可得，在知道大地坐標(biāo)系的矢量Hl和彈體坐標(biāo)系的矢量Hb的情況下，可以獲得三個(gè)姿態(tài)角之間的關(guān)系式

(6)

三個(gè)方程含有三個(gè)未知數(shù)，因此，還需要知道三個(gè)姿態(tài)角中的一個(gè)才能進(jìn)行求解。對于常規(guī)彈藥來說，打擊目標(biāo)所處位置一般不變，因此彈道軌跡是一個(gè)在二維平面上的拋物線。彈丸的偏航角變化小甚至不變，而俯仰角需要經(jīng)歷一個(gè)由正到負(fù)的過程，滾轉(zhuǎn)角更是在每時(shí)每刻的變化。偏航角通常在未發(fā)射彈體前便已經(jīng)確認(rèn)好，故采取已知偏航角的方法，根據(jù)偏航角去推到彈體的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角[8]。

對第一個(gè)關(guān)系式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行輔助角變換反推可得

(7)

第二個(gè)關(guān)系式乘以sinγ與第三個(gè)關(guān)系式乘以cosγ相加，輔助角公式化簡后直接求得

(8)

式中：arctan的取值為[0,360°)；arccos的取值為[0,180°]。三個(gè)姿態(tài)角取值范圍依次為0≤γ<360°，-90°<θ<90°和-180°≤φ<180°。

由此可見，俯仰角與滾轉(zhuǎn)角是與地磁三分量和偏航角有關(guān)的函數(shù)，地磁場分量的準(zhǔn)確性影響到彈體姿態(tài)的測量。在地磁分量不準(zhǔn)確的情況下，俯仰角與滾轉(zhuǎn)角的精度就會(huì)收到一定的影響。

1.3 姿態(tài)角基于初始地磁分量的誤差分析

彈體的具體姿態(tài)解算受初始裝定進(jìn)彈體的地磁三分量影響。為了提高姿態(tài)角的精度，有必要研究地磁三分量對解算姿態(tài)角的具體誤差。

根據(jù)式(7)，θ是關(guān)于Xl、Yl、Zl的函數(shù)，且三個(gè)變量之間相互獨(dú)立。為了研究各個(gè)變量之間的影響，最直觀的就是預(yù)先知道真值，固定其余兩個(gè)變量，只變動(dòng)其中一個(gè)變量，將改動(dòng)過的變量計(jì)算出來的值與采用真值計(jì)算出來的值進(jìn)行對比，即是

Δθ=θ′-θ0

(9)

其中：Δθ是俯仰角的誤差；θ′是改變一個(gè)變量后計(jì)算出來的俯仰角值；θ0是真值計(jì)算出來的俯仰角值。

同理可得

Δγ=γ′-γ0

(10)

其中：Δγ是滾轉(zhuǎn)角的誤差；γ′是改變一個(gè)變量后計(jì)算出來的滾轉(zhuǎn)角值；γ0是真值計(jì)算出來的滾轉(zhuǎn)角值。

研究誤差影響還可以對其求導(dǎo),進(jìn)行局部線性化[9]。以x對姿態(tài)角的影響為例。將式(15)中θ記作θ=f(x)。將θ=f(x)在x=x0處按泰勒公式展開。在Δx很小的情況下，可以將高次多項(xiàng)式忽略，進(jìn)行局部線性化可得

(11)

(12)

同理，對于滾轉(zhuǎn)角，將式(8)中γ記作g(x,y,z),同樣在其真值處進(jìn)行泰勒展開，忽略其高次多項(xiàng)式，可得

(13)

觀察分析這些式子，在一定程度下，Δθ與Δx、Δy、Δz近似為線性關(guān)系，Δγ與Δx、Δy、Δz也呈現(xiàn)線性關(guān)系。為了具體研究這個(gè)線性影響量的大小，需要求出這些方程的導(dǎo)數(shù)。

對式(7)、式(8)分別求導(dǎo)得

(15)

(16)

x、y、z之間三者的累積絕對誤差為相加之和[10]，即是

通過給出一定的已知數(shù)值，便可以通過絕對誤差方程去計(jì)算誤差的大小。

2 仿真分析

為了直觀看出絕對誤差大小，現(xiàn)采取MATLAB繪制其絕對誤差曲線。假設(shè)彈丸向正北方向發(fā)射，以南京某地為例，其緯度為北緯32°01′33″，經(jīng)度為東經(jīng)118°50′52″，海拔為36.4 m，根據(jù)WMM2015模型計(jì)算得出地磁三分量的真值為X=32 725.1 nT,Y=-3 264.0 nT,Z=37 529.7 nT。由于地磁分量真值誤差不會(huì)太大。假設(shè)其變化在真值上下500 nT浮動(dòng)，因此將其范圍設(shè)置x∈[32 200, 33 200]，y∈[-3 700, -2 700],z∈[37 000, 38 000],以此來觀察詳細(xì)的誤差影響。用傳感器測出一些通常狀態(tài)下的地磁分量值來作為Xb、Yb、Zb的值，不同偏航角下，有不同的實(shí)測值。本研究采取偏航角為-180°、-135°、-90°、-45°、0°、45°、90°、135°的情況下，繪制曲線。

直接比較法，取代表性圖像如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可知，在設(shè)定的變化范圍內(nèi)，θ關(guān)于X的絕對誤差大小不超過0.15°；θ關(guān)于Y的絕對誤差大小不超過0.000 5°；θ關(guān)于Z的絕對誤差大小不超過0.25°。γ關(guān)于X的絕對誤差大小不超過0.2°；因?yàn)棣檬顷P(guān)于X,Z的函數(shù)，與Y不相關(guān)，故在圖像上,Y對于γ的誤差沒有影響。γ關(guān)于Z的絕對誤差大小不超過0.15°。X與Z的影響較大，Y的影響因素較小。需要注意的是，在圖像上出現(xiàn)了部分水平線，是因?yàn)樵谀承┳藨B(tài)下，分量的絕對誤差導(dǎo)致了計(jì)算出現(xiàn)虛數(shù)，即是不存在實(shí)數(shù)解。在某些情況下，傳感器測出的數(shù)值，遇上了不夠準(zhǔn)確的地磁分量后，會(huì)出現(xiàn)無解的情況，此時(shí)便解算不出姿態(tài)角。

圖2 θ關(guān)于x的絕對誤差

圖3 θ關(guān)于y的絕對誤差

對于求導(dǎo)法，因?yàn)槠湔嬷荡_定，故前面的系數(shù)也是確定的，所以誤差圖像均呈現(xiàn)一個(gè)線性，故取一個(gè)代表性圖像。

如圖4所示，在設(shè)定的變化范圍內(nèi)，θ關(guān)于X的誤差大小不超過0.2°；θ關(guān)于Y的誤差大小不超過0.000 5°；θ關(guān)于Z的誤差大小不超過0.2°。γ關(guān)于X的誤差大小不超過0.2°；γ關(guān)于Y的誤差為0，γ關(guān)于Z的誤差大小不超過0.2°。

圖4 求導(dǎo)法θ關(guān)于x的絕對誤差

由于導(dǎo)數(shù)法存在著兩種不同的符號(hào)，在另一種符號(hào)下，θ關(guān)于X的絕對誤差大小不超過0.2°；θ關(guān)于Y的絕對誤差大小不超過0.1°；θ關(guān)于Z的絕對誤差大小不超過0.2°。γ關(guān)于X的絕對誤差大小不超過0.2°；γ關(guān)于Y的絕對誤差為0，γ關(guān)于Z的絕對誤差大小不超過0.2°。

綜上所述，地磁分量的準(zhǔn)確度影響著姿態(tài)角角度。角度誤差與單分量絕對誤差呈一定的線性關(guān)系。與真值相差500 nT情況下，姿態(tài)角的絕對誤差不超過0.2°。三者間絕對誤差總值不會(huì)超過0.65°。地磁分量相差越大，姿態(tài)角絕對誤差越大，某些情況下，甚至存在無解狀態(tài)，給彈體導(dǎo)航帶來影響。

3 結(jié)論

以基于地磁解算姿態(tài)的方法為背景，分析了姿態(tài)角解算方法，利用已知當(dāng)?shù)氐卮欧至考皩?shí)時(shí)地磁分量和偏航角，計(jì)算出俯仰角和滾轉(zhuǎn)角。此外對姿態(tài)角的絕對誤差建立了基于初始地磁分量的絕對誤差模型。通過分析方程可知，姿態(tài)角的絕對誤差與初始地磁分量絕對誤差基本呈線性。總體而言，在正常情況下初始地磁分量對姿態(tài)角的影響大概在1°以內(nèi)，但在某些特殊情況下存在無解。因此，一個(gè)良好的初始地磁分量精度對智能彈藥的發(fā)展也起著重要作用。