基于DFA的股市極端波動率閾值的確定及應用
——基于系統(tǒng)動力學視角

苑 瑩 于昕彤 張同輝

(東北大學 工商管理學院， 遼寧 沈陽 110169)

1 研究方法

當金融市場的演化狀態(tài)處于極端波動時，去除這些極端狀態(tài)對系統(tǒng)的長程相關性幾乎沒有任何影響；當市場的演化狀態(tài)為非極端值時，去除不同非極端狀態(tài)后的DFA指數彼此之間有很大差異。基于這一思想，本文以消除趨勢波動分析方法為基礎和主要方法，確定股市波動率的極端閾值，從而對上證指數極端波動率進行研究。

1.1 消除趨勢波動分析(DFA)方法

DFA方法提供了一種測量非平穩(wěn)時間序列長記憶性相關強度指數的方法。與其他方法相比，它的優(yōu)勢在于可以測量非平穩(wěn)時間序列長程相關性的相關強度，也能避免非平穩(wěn)時間序列存在的虛假長記憶性。

對給定長度為N的序列{xi}，i=1,2,…,N，DFA方法的一般過程如下：

(1)通過求和把原序列歸并成一個新的序列：

(1)

(2)把序列yi分割成長度為s的Ns=int(N/s)個互不相交的等長區(qū)間，由于長度N經常不是s的整數倍，為了不丟棄尾部剩余部分，從序列尾部重復這一分割過程，因此得2Ns區(qū)間。

(3)通過最小二乘法擬合每一子區(qū)間v(v=1,2,…,2Ns)上的局部趨勢pv(j)函數消除子區(qū)間v中的局部趨勢序列：

Zv(j)=yv(j)-pv(j) (j=1,2,…,s)

(2)

(4)分別計算2Ns個消除趨勢子區(qū)間序列的平方均值：

(3)

這里v=1,2,…,Ns，進而求出這2Ns個F(s,v)的均值平方根：

(4)

(5)在雙對數圖中分析波動函數F(s)與s的如下關系：

F(s)∞Sa

(5)

對每一個分割長度s，可求出相應的一個波動函數值F(s)，作出Ln(F(s))～Lns函數關系圖，其斜率為標度指數α。

α體現了序列的相關特性：當α=0.5時，意味著該序列不存在長記憶性。若時間序列僅是短期相關，α值會十分接近于0.5；當0.5<α≤1時，說明時間序列具有狀態(tài)持久性，即該序列存在長期記憶特征，當前的事件和未來事件之間存在長程相關性；當0<α<0.5時，時間序列具有狀態(tài)反持久性，即如果一個時序在前一個期間存在一個向上(下)趨勢，則它在后一個期間很可能存在向下(上)的趨勢。通過分析極值對系統(tǒng)h(q)(DFA的值)的影響來確定極端事件的閾值。

1.2 確定極端事件閾值的方法

由DFA方法得到的DFA指數值能確定在一定的時間內系統(tǒng)演化的長程相關性，而極端事件不會(或很小)影響整個系統(tǒng)的長程相關性。因此，DFA值能確定極端事件的閾值。假設xi是長度為n的序列xi(xi，i=1，2，3，…，n)，確定極端事件的閾值包括以下幾個步驟：

(1)找出xi的最大值xmax和最小值xmin；

(2)計算出xi的中點(R)，可以是xi的平均值或中值；

(3)從xmax開始，依次舍去xi區(qū)間{xi，xi≥xmax-d×k}內的值，直到xi=R，可以依次得到新的序列yj(j=xmax-d×k)，其中d是區(qū)間間隔，k=1，2，3，…，(R-xmax)/d。同樣地，從xmin開始，依次舍去xi區(qū)間{xi，xi≤xmin+d×k}內的值，直到xi=R，則依次得到新的序列yj(j=xmin+d×k)，其中d是區(qū)間間隔，k=1，2，3，…，(R-xmax)/d。d值代表了此方法的分辨率。d值越小，分辨率越高，但同時也會導致計算量的增加，反之亦然。本文中，依據樣本時間序列的特征，并經過定量分析確定極端閾值時取d為0.005。

(4)計算每一個新序列yj的長程相關性指數(DFA值，Dj)；

(5)當Dj的變化趨于平緩并收斂于數據的原始hq值時，則此時的j值即數據xi的極端事件的閾值。

2 數據選取與說明

本文以中國股票市場最具代表性的指數——上證指數為研究樣本，原始數據選自上海證券交易所(SHSE)。上海證券交易所成立于1990年11月26日，并于1990年12月19日正式開始交易。上海證券交易所的營業(yè)時間為每個交易日的上午9:30到11:30，下午的1:00到3:00，每天共有四個小時的交易時間。本文所選取的數據即上證指數(SHSI)每日收盤價，但考慮到1996年12月26日之后，我國引入了漲停板制度，因此本文所選取的樣本區(qū)間從1996年12 月 26 日(即漲停板之后)到2017年12月29日。我們的實證研究主要關注股票市場對數波動率(即收益率的絕對值)。

3 實證研究與結果分析

3.1 基本統(tǒng)計分析

圖1列示了1996年12 月 26 日到2017年12月29股票價格指數(SHSI)的變化趨勢，表1給出了該時間段內波動率序列的基本統(tǒng)計量。從表1中可以看出：波動率序列的偏度均大于0，說明其分布

呈右偏狀，即波動率序列出現正值的概率大于收益率出現負值的概率；波動率序列的峰度都大于3，說明該序列不服從正態(tài)分布，而具有尖峰態(tài)特征。

3.2 股市波動率的長程時間關聯分析

運用DFA方法對上證指數波動率序列的長程時間關聯特性進行分析，其中s從10取到N/2，做出整個時間序列的二階降趨勢波動函數F(s)后，分析F(s)的對數曲線與s的對數曲線間的線性關系，如圖2 所示。從圖2中可以看出，F(s)與s之間存在顯著的線性冪律關系，標度指數為0.89。由于α>0.5，我們可以得到如下結論：上證指數波動率序列存在長程時間關聯特性，即上海股票市場存在著長期的持續(xù)性的演化狀態(tài)，時間序列后一期數值會隨著前一期的上升而上升，隨前一期的下降而下降，呈現追隨趨勢的傾向。因此，可以根據這種市場固有的長期記憶特性找出波動率序列的有關規(guī)律。

圖1 上證指數原始數據隨時間變化趨勢

表1 波動率序列的基本統(tǒng)計量分析

圖2 上證指數波動率消除趨勢(DFA)分析結果

3.3 金融市場波動率極端閾值的確定

在對金融市場波動率極端閾值進行確定時，考慮到金融市場極端波動事件是金融市場演化的極端狀態(tài)或受到外界擾動而導致的異常狀態(tài)，而金融市場的長程相關性不受或很少受極端狀態(tài)的影響，因此可以運用DFA方法，通過確定序列的DFA指數何時開始收斂于原始值來確定極端波動率閾值。運用2.1及2.2中介紹的確定閾值的方法對樣本區(qū)間內的數據進行實證研究，圖3列示了DFA值的變化。從圖3可以看出樣本區(qū)間波動率極端閾值的定義過程及結果，樣本區(qū)間內波動率極端閾值約為0.077。進一步地，根據DFA方法確定的閾值，可以得到樣本區(qū)間內發(fā)生極端波動事件的具體信息，結果如表2所示。表2分別給出了發(fā)生極端波動的年份、具體時間、波動率、年度頻次及平均強度。從表2可以看出：(1)在樣本區(qū)間內，從極端事件的發(fā)生頻次來看，共發(fā)生極端波動事件18次，其中2008年和2015年發(fā)生次數最多，達到4次，其次為1997年及2007年，分別發(fā)生2次，1998—2002年、2005年分別發(fā)生1次，2003、2004、2006及2009—2014年、2016—2017年未發(fā)生極端波動事件；(2)從極端波動率的強度來看，強度較大的年份分別為1997年、2001年、2007年、2008年及2015年。從上述實證結果可以看出，無論是從極端事件的波動率強度還是從發(fā)生頻次來看，1997年、2007年、2008年及2015年都發(fā)生了金融市場的極端波動，這與1997年亞洲金融危機、2008年美國次貸危機及2015年中國股市發(fā)生的股災等現象是相符的。

圖3 樣本區(qū)間內極端波動率閾值的確定

表2 波動率極端波動事件的具體信息

3.4 極端波動率的嚴重度分析

然而，單一地分析某一市場極端事件發(fā)生的頻次或強度，往往不能準確地表征極端事件的嚴重度。只有在該市場極端事件發(fā)生次數較多并且強度也較大時，才能較準確地說明該市場發(fā)生極端事件比較嚴重。本文利用Du等提出的嚴重度指數對我國股市極端波動事件發(fā)生的嚴重度進行實證分析，該嚴重度指數的具體定義如下：

步驟一：對于極端波動事件，首先計算所有時間段上(年份)的極端事件發(fā)生的頻次(Xi，i=1，2，3，…，n)，并且同時計算整個時間段內每一年極端事件超出閾值的平均強度(Yi，i=1，2，3，…，n)，其中n代表年份，即

Y=[(P-Pthreshold)/Pthreshold]×100%

(6)

其中：P是極端波動率的值；Pthreshold是極端波動率的閾值。

步驟二：將極端波動率的頻次及強度進行標準化，則其值的范圍為0～1，也就是

xi=(Xi-Xmin)/(Xmax-Xmin) (i=1，2，3，…，n)

1.1.1 藥物因素 在治療過程中，急性髓系白血病采用DA、MA和HA方案，急性淋巴細胞白血病多采用VDCP、VDP方案，非霍奇金淋巴瘤多采用CHOP方案，多發(fā)性骨髓瘤多采用VAD方案。使用阿糖胞苷、柔紅霉素、足葉乙甙、米托蒽醌、表柔比星、環(huán)磷酰胺、長春地辛、左旋門冬酰胺酶等抗腫瘤藥物［3］。因此，化療藥物抑制了患者口腔黏膜上皮細胞內DNA的復制和細胞增生，導致基底細胞更新障礙，引起黏膜萎縮，膠原斷裂，形成口腔黏膜潰瘍［4］;化療后骨髓造血功能受抑，常伴有中性粒細胞減少或血小板減少，使口腔易發(fā)生感染或口出血，且常發(fā)生于兩頰部和齒齦部［5］。

(7)

及

yi=(Yi-Ymin)/(Ymax-Ymin) (i=1，2，3，…，n)

(8)

其中：Xmin和Xmax分別代表了所有年份中極端事件發(fā)生的最低和最高頻次；Ymin和Ymax分別代表了所有年份中極端事件的最低強度及最高強度。因此，xi及yi分別表示為標準化后的頻次和強度。

步驟三：求出每一年的嚴重度指數。

EPSI=k1×xi+k2×yi(i=1，2，3，…，n)

(9)

其中，k1及k2分別是影響嚴重度指數的頻次及強度的權重系數，k1+k2=1。由于強度及頻次對嚴重度指數都具有影響，因此，本文中k1、k2均取0.5。此外，嚴重度指數的值應為0～1。

表3 上證指數極端波動率年度嚴重度指數

4 結論

針對當前極少對金融市場極端波動閾值進行研究的現狀，本文以上證指數為研究對象，基于復雜性研究視角，以DFA方法為基礎，運用DFA方法來確定金融極端波動率閾值，研究結果發(fā)現：

(1) 對股市波動率的長程時間關聯進行分析，發(fā)現上海股票市場存在著固有的長期持續(xù)性的演化狀態(tài)，時間序列后一期數值會隨著前一期的上升而上升，隨前一期的下降而下降，呈現追隨趨勢的傾向。因此，可以根據這種市場固有的長期記憶特性找出波動率序列的有關規(guī)律。

(2) 運用基于DFA的極端事件閾值確定方法確定了上海股市極端波動率的閾值，進而測算了股市極端波動的年度嚴重度指數，結果發(fā)現上述研究方法在研究股市極端波動時具有較好的應用效果。

本文基于復雜性研究視角，運用一種新的復雜性方法——DFA對極端波動率閾值進行確定。DFA 方法以系統(tǒng)動力學為基礎，利用變換前后金融時間序列的長程相關指數變化特征來確定極端波動率閾值。與常規(guī)方法相比，該方法原理可行，計算出的閾值結果唯一，能較好反映金融極端波動率序列的統(tǒng)計效應和機理，在金融市場極端波動研究中具有很廣闊的應用前景。本文只是運用復雜性方法對極端波動率閾值進行研究的一種嘗試，后續(xù)深入的關于金融極端事件的定量化研究還有待進一步深化和完善，這也是我們后續(xù)努力的方向。