轉動切割型感應電動勢表達式的推導和應用

■河南省許昌高級中學 李瑞珍

在電磁感應現象中,若磁場不變,導體棒在勻強磁場中繞平行于磁場方向的軸,以角速度ω做勻速圓周運動,則產生的感應電動勢的表達式為下面通過對這個表達式的推導,幫助同學們更好地理解這個表達式并在實際解題中靈活應用。

一、轉動切割型感應電動勢表達式的推導

如圖1所示,在磁感應強度為B的勻強磁場中,有一長為L的直導體棒a b,設導體棒繞位于a點的轉軸以角速度ω沿順時針方向勻速轉動,轉軸與磁場方向平行。求導體棒a、b兩端間的電動勢。

圖1

方法1：運用法拉第電磁感應定律推導。

導體棒a b不閉合,當它在勻強磁場中繞軸勻速轉動時,為了運用法拉第電磁感應定律推導產生的感應電動勢的大小,需要假想一條導線(圖2中虛線a c b)與導體棒a b組成閉合電路。

圖2

圖3

設導體棒a b在Δt時間內轉動到a b'位置,如圖3所示,則閉合電路a c b a內的磁通量在Δt時間內的增量等于閉合扇形a b'b a內的磁通量,即閉合電路a c b a在Δt時間內的磁通量的變化量等于導體棒a b在Δt時間內繞位于a點的轉軸轉動所掃過的面積的磁通量。設導體棒a b在Δt時間內轉過Δθ角,則Δθ=ωΔt,掃過的面積為L2Δθ,對應的磁通量的變化量ΔΦ=B L2Δθ,根據法拉第電磁感應定律得導體棒a、b兩端間的電動勢

方法2：利用導體棒切割磁感線時產生的感應電動勢結論E=Blv,結合“平均速度法”推導。

當導體棒a b在勻強磁場中繞一端點勻速轉動切割磁感線時,導體棒a b上各點的線速度與半徑大小成正比,導體棒的中點位置速度等于導體棒轉動的“平均速度”,因此切割速度取,產生的感應電動勢

結論：(1)勻強磁場中轉動切割型(轉軸與磁場方向平行)感應電動勢的表達式為在國際單位制中,ω、B、L的單位分別是弧度每秒(r a d/s)、特斯拉(T)、米(m),E的單位是伏特(V)。

(2)轉動切割型感應電動勢表達式E=和在本質上是統一的。當導體棒做轉動切割磁感線運動時,用E=求E比較方便；當穿過電路的磁通量發生變化時,用求E比較方便。

二、轉動切割型感應電動勢表達式的應用

1.應用轉動切割型感應電動勢的表達式求解繞軸轉動的導體棒部分處于勻強磁場中時產生的感應電動勢。

例1如圖4所示,圓環形勻強磁場的磁感應強度的大小為B,O點為磁場區域的圓心,磁場區域的內、外半徑分別為r1和r2。當導體棒OA繞O點在紙面內以恒定角速度ω沿順時針方向勻速轉動時,導體棒O、A兩端間的電動勢為( )。

圖4

解法1：運用法拉第電磁感應定律求解。

在Δt時間內,導體棒在磁場中掃過的面積Δt,對應的磁通量的變化量ΔΦ=B·ΔS=產生的感應電動勢E=

解法2：運用轉動切割型感應電動勢的結論求解。

導體棒在磁場中的有效切割長度L=r2-r1。導體棒繞O點勻速轉動,棒上各點的線速度與半徑大小成正比,故導體棒的中點速度等于平均速度,即產生的感應電動勢r21)。

答案：A

點評：兩種解法在本質上是一樣的。解法1的關鍵是要先假想一個面積,確定磁通量的變化量,再求解電動勢；解法2比較簡潔,關鍵是找準有效切割長度和磁場中那部分導體棒的平均速度。

2.應用轉動切割型感應電動勢的表達式求解曲線型導體棒繞軸勻速轉動切割磁感線時產生的感應電動勢。

例2如圖5所示,把一根細導線彎成直徑為d的半圓形A C置在勻強磁場中,磁感應強度大小為B,方向垂直于導線所在平面。當導線繞著A點垂直于磁場沿逆時針方向以角速度ω勻速轉動時,導線A、C兩端間的電動勢為( )。

圖5

A.ω B d2B

解析：如圖6所示,假設有一直線連接A、C,則A C連線與半圓形A E C構成一個閉合的線圈,在旋轉的時候穿過線圈平面內的磁通量不變,感應電動勢為0,因此A C連線切割磁感線產生的感應電動勢與半圓形A E C切割磁感線產生的感應電動勢相同。這樣就可以把求半圓形A E C切割磁感線產生的感應電動勢轉化為求A C連線切割磁感線產生的感應電動勢,利用轉動切割型感應電動勢表達式得

圖6

答案：B

點評：本題通過假設一個導體棒,而設置一個虛擬過程,將兩個導體的電動勢聯系起來,從而實現了把一個復雜的物理情景轉化為一個簡單的物理情景的目的。

3.應用轉動切割型感應電動勢的表達式求解導體棒以棒上某點為軸勻速轉動切割磁感線時產生的感應電動勢。

例3如圖7所示,虛線兩側的磁感應強度大小均為B,方向相反,將電阻為R的導線彎成頂角為90°,半徑為r的兩個扇形組成的電路,O為圓心,整個電路可繞O點轉動。若電路由圖示的位置開始沿順時針方向以角速度ω轉動,則在一個周期內電路消耗的電能是( )。

圖7

解析：電路中a d邊和b c邊分別繞O點沿順時針方向轉動,O點位于導體棒的中點,這樣就有四個半徑在切割磁感線,每個半徑可看成一個電源,電路中有四個電源。從圖示位置開始計時,電路轉動的一個周期T=根據右手定則可以判斷出,在時間內,兩個直徑導線上產生的兩個感應電動勢方向相反,電路中沒有感應電流產生；在時間內,四個半徑導線上產生的感應電動勢的方向一致,電路中有感應電流產生,產生的總感應電動勢因此在一個周期內電路消耗的電能

答案：C

點評：當導體棒以棒上某點為軸勻速轉動切割磁感線時,會同時出現兩個感應電動勢,這時要用右手定則判斷兩個感應電動勢的方向。若利用這個電源為電路供電,或者判斷導體棒兩個端點的電勢差,則要分析兩個電動勢是否同向,再求代數和。

1.一直升飛機停在南半球的地磁極上空。該處地磁場的方向豎直向上,磁感應強度為B。直升飛機螺旋槳葉片的長度為l,螺旋槳轉動的頻率為f,順著地磁場的方向看螺旋槳,螺旋槳沿順時針方向轉動。螺旋槳葉片的近軸端為a,遠軸端為b,如圖8所示。如果忽略a到轉軸中心線的距離,用E表示每個葉片中的感應電動勢,則( )。

圖8

A.E=πf l2B,a點電勢低于b點電勢

B.E=2 πf l2B,a點電勢低于b點電勢

C.E=πf l2B,a點電勢高于b點電勢

D.E=2 πf l2B,a點電勢高于b點電勢

2.如圖9所示為兒童玩具發光竹蜻蜓(在飛起時能夠發光)的電路簡化圖,半徑為L的金屬圓環繞垂直于圓環平面、通過圓心O的金屬軸O1O2以角速度ω勻速轉動,圓環上接有電阻均為r的三根導電輻條O P、O Q、O R,輻條互成120°角。在圓環內,圓心角為120°的扇形區域內存在垂直于圓環平面向下、磁感應強度為B的勻強磁場,在轉軸O1O2與圓環的邊緣之間通過電刷M、N與一個L E D燈(可看成二極管,發光時,電阻為r)連接。圓環及其他電阻不計,從圖示的輻條O P、O Q位于磁場邊界位置開始計時。下列說法中正確的是( )。

圖9

A.順著磁感線方向看,當圓環繞O1O2軸沿順時針方向旋轉時,可以使L E D燈發光

B.在不改變玩具結構的情況下,可以通過增大圓盤轉動的角速度來使L E D燈發光時更亮

C.在圓環轉過60°的過程中(能使L E D燈發光),通過L E D燈的電流為

參考答案：1.A 2.B D