等分法
———求勻強電場的E 和φ 的“金鑰匙”

■江蘇省六合高級中學 傅明峰

在與電場相關的高考試題中,經常出現要求求解電場中某點的電勢或電場強度的問題。這類問題雖然是常見的,但往往會因為設置的情景較新,所要求解的問題距離給出的信息較大,而使不少同學在解答時感到茫然。下面我們介紹一種方法,簡稱“等分法”。這種方法通過捕捉信息和幾何作圖,先找出電場中關鍵點的電勢,再確定等勢線或等勢面,最后根據電場線垂直于等勢面的特點,以及電場強度和電勢差的關系來求解。

例題(2017·全國Ⅲ卷)一勻強電場的方向平行于x O y平面,平面內a、b、c三點的位置如圖1所示,三點的電勢分別為10V、17V、26V。下列說法中正確的是( )。

圖1

A.電場強度的大小為2.5V/cm

B.坐標原點O處的電勢為1V

C.電子在a點的電勢能比在b點的低7e V

D.電子從b點運動到c點,靜電力做功為9e V

審題：在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分。在勻強電場中,因為電場線平行且均勻分布,所以等勢線平行且均勻分布。以上兩點是解決此類問題的“金鑰匙”。

解析：由題意知φa=10V,φb=17V,φc=26V,則a b連線與O c連線交點的電勢滿足,故φO=φa+φb-φc=1V,選項B正確。從a點到b點移動電子,靜電力做功W=-e Ua b=7e V,靜電力做正功,電勢能減小,故電子在a點的電勢能比在b點的高7e V,選項C錯誤。從b點到c點移動電子,靜電力做功W'=-e Ub c=9e V,選項D正確。如圖2所示,過b點作b d垂直于O c,由幾何關系得xc d=故解得d點的電勢φd=17V,即b d為等勢線,從而得電場線沿c O方向,電場強度2.5V/cm,選項A正確。

答案：A B D

圖2

(1)等分法的兩個有用的推論：①在勻強電場中,沿任意一條直線電勢降落都是均勻的；②在勻強電場中,相互平行且相等的線段兩端點的電勢差相等。

(2)運用等分法解題的步驟：①確定所給點中電勢最高點和最低點,用直線連接；②根據第三點的電勢值,將①中的直線平分為等距離的n段；③找到直線上與第三點電勢相同的第四點,連接第三和第四點所得直線即為等勢線；④作出垂直于等勢線的直線,并根據電勢降落的方向在新作的直線上加上箭頭,畫出電場線,再根據E=求出電場強度的大小。

1.運用等分法確定勻強電場的方向和場強E。

變式1：A、B、C是勻強電場中的三個點,各點電勢分別為φA=10V、φB=2V、φC=6V,A、B、C三點在同一平面上。如圖3所示的四幅關于A、B、C三點的位置及電場強度的方向表示正確的是( )。

圖3

審題：在勻強電場中,電場強度大小處處相等,方向處處相同,則電場線是平行且等間距的,電勢沿著電場線逐漸降低,電場線與等勢面垂直。

解析：根據φA=10V、φB=2V、φC=6V可知,AB連線的中點M的電勢為6V,因此M點與C點的連線為等勢面,與MC連線垂直的線即為電場線。又因為電勢沿著電場線逐漸降低,所以D圖正確。

答案：D

變式2：A、B、C是勻強電場中平行于電場線的某一平面上的三個點,各點的電勢分別為φA=5V,φB=2V,φC=3V,H、F三等分A B連線,G為A C連線的中點。如圖4所示的四幅示意圖中,能正確表示電場強度方向的是( )。

圖4

審題：根據勻強電場中電勢、電場線、等勢線和電場強度的特點,在A B連線上找出電勢與C點電勢相等的點,即可得到一條等勢線,進而可以作出電場線。

解析：把A B連線三等分,因為UA B=3V,所以每等份兩端的電勢差為1V,即φH=4V,φF=3V,則直線F C為等勢線,電場線應垂直于F C,且從電勢高處指向電勢低處,C圖正確。把AC連線兩等分,因為UAC=2V,所以每等份兩端的電勢差為1V,即φG=4V,則直線GH為等勢線,電場線應垂直于HG,且從電勢高處指向電勢低處,B圖正確。

答案：B C

變式3：如圖5所示,勻強電場的方向平行于xOy坐標系平面,坐標原點O處的電勢為2V,a點的坐標為(0cm,4cm),電勢為8V,b點的坐標為(3cm,0cm),電勢為8V,則電場強度大小為( )。

圖5

A.250V/m

B.200V/m

C.150V/m

D.120V/m

審題：根據題中數據可知,a、b兩點的電勢相等,先運用幾何關系求出O點到a b連線的距離,再由勻強電場中電勢差與電場強度的關系U=E d,即可得出電場強度的大小。

解析：由題意可知,a、b兩點的電勢相等,則a b連線為一條等勢線,又有O點電勢為2V,則勻強電場的場強方向垂直于a b連線指向左下方。過O點作a b連線的垂線交a b于c點,如圖6所示,由幾何關系得t a n則∠b=53°。O c=O b·sin ∠b=0.03m×sin53°=2.4×10-2m。c、O兩點間的電勢差U=8V-2V=6V,因此電場強度大小

圖6

答案：A

2.運用等分法求勻強電場中各點的電勢大小。

變式4：a、b、c、d是勻強電場中的四個點,它們正好是一個矩形的四個頂點。電場線與矩形所在平面平行。已知a點的電勢為20V,b點的電勢為24V,d點的電勢為4V,如圖7所示。由此可知c點的電勢為( )。

A.4V B.8V

C.12V D.24 V

審題：依據在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分,將b d五等分,找到與a點電勢相等的點e,連接a e,由c f∥a e,找到與c點電勢相等的點f,即可求得φc。

圖7

圖8

解法一：(推論①)連接對角線a c和b d相交于O點,如圖8所示。由勻強電場的性質得φO=解得φc=8V。

解法二：(推論②)因為a b=c d且a b∥c d,所以φb-φa=φc-φd,解得φc=8V。

答案：B

圖9

變式5：如圖9所示,在x O y坐標系中有以O點為中心、邊長為0.2m的正方形,頂點A、B、C、D分別在坐標軸上。在該平面內有一勻強電場(圖中未畫出),已知A、B、C三點的電勢分別為3V、-V、-3V。則下列說法中正確的是( )。

A.D點的電勢為V

B.該電場的場強大小E=10V/m

C.該電場的場強大小E=10V/m

D.電場方向與x軸正方向間的夾角為30°

審題：依據勻強電場的特點,運用對稱思想可求得D點的電勢。依據U=E d可求解場強問題。

解析：根據A、C兩點的電勢分別為3V、-3V可知,O點的電勢為零,由對稱性可知D點的電勢為V,選項A正確。設過O點的等勢線與x軸間的夾角為α,則E解得α=60°,E=10V/m,選項B錯誤,C正確。因為電場線與等勢線互相垂直,所以電場方向與x軸正方向間的夾角為30°,選項D正確。

答案：A C D

1.如圖10所示,在平面直角坐標系中,有方向平行于坐標平面的勻強電場,坐標原點O處的電勢為0V,點A處的電勢為6V,點B處的電勢為3V,則電場強度的大小為( )。

圖10

2.如圖11所示,以O點為圓心,以R=0.20m為半徑的圓與坐標軸交點分別為a、b、c、d,該圓所在平面內有一勻強電場,場強方向與x軸正方向間的夾角θ=60°,已知a、b、c三點的電勢分別為4V、4V、-4V,則下列說法中正確的是( )。

圖11

A.該勻強電場的場強E=40V/m

B.該勻強電場的場強E=80V/m

C.d點的電勢為-2V

D.d點的電勢為-4V

3.如圖12所示,水平面內有A、B、C、D、E、F六個點,它們均勻分布在圓心為O、半徑R=2 cm的同一圓周上,空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、E三點的電勢分別為φA=(2-)V、φC=2 V,φE=(2+)V,則下列判斷中正確的是( )。

圖12

A.電場的方向由A點指向D點

B.電場強度的大小為100V/m

C.該圓周上的點電勢最高為4V

D.將電子沿圓弧從D點移到F點,靜電力始終做負功

參考答案：1.A 2.D 3.B C