自主招生真題賞析(一)
——考查力與運動部分

■江蘇省六合高級中學 常仁飛

分析近幾年自主招生試題中對力和運動部分的考查內容不難發現,考查的知識點包括高中物理全部內容和大學普通物理大部分內容,如靜力學、運動學、動力學、能量、動量等。考生需要重點研究的物理模型有斜面模型、疊加體模型、含彈簧模型(動力學)、動量和能量相關的碰撞模型、水平方向的圓盤模型、行星模型、人船模型等?？忌枰炀氄莆盏奈锢硭枷敕椒ㄓ形⒃?、等效法、補償法等。下面精選考查頻率較高的六個方向來賞析,希望對立志于參加自主招生考試的同學有一定的借鑒作用。

考向一：平動平衡和轉動平衡的綜合應用

例1(北約)車輪是人類在搬運東西的勞動中逐漸發明的,其作用是使人們能用較小的力量搬運很重的物體。假設勻質圓盤代表車輪,其他物體取一正方形形狀。我們現在就比較在平面和斜面兩種情形下,為使它們運動(平動、滾動等)所需要的最小作用力。假設圓盤半徑為b,正方形物體的邊長也為b,它們的質量都是m,它們與水平地面或斜面間的動摩擦因數都是μ,給定傾角為θ的斜面。

(1)使圓盤在平面上運動幾乎不需要作用力。使正方形物體在平面上運動,需要的最小作用力F1是多少?

(2)在斜面上使正方形物體向上運動所需的最小作用力F2是多少?

(3)在斜面上使圓盤向上運動所需要的最小作用力F3是多少?限定力F3沿斜面方向。

解析：(1)設使正方形物體在平面上運動所需的最小作用力F1的方向與水平面間的夾角為α,如圖1所示,則F1cosα=f,N+F1sinα=mg,f=μN,解得設sin代入上式得F1=當α+φ=90°時,F1取最小值

圖2

(2)設在斜面上使正方形物體向上運動所需的最小作用力F2的方向與斜面間的夾角為β,如圖2所示,則F2cosβ=f+mgsinθ,N+F2sinβ=mgcosθ,f=μN,解得設sinφ=,代入上式得F2=當β+φ=90°時,F2取最小值

圖3

(3)如圖3所示,圓盤沿斜面向上滾動,斜面提供沿斜面向上的摩擦力f,相對于圓盤與斜面的接觸點,力F3的最大力臂為2b,則2F3b=mgbsinθ,F3+f=mgsinθ,N=mgcosθ,f=μN,解得μ=若,則若μ＜則F3=mg(sinθ-μcosθ)。

點評：本題以車輪為切入點,意在考查共點力平衡條件、力矩平衡條件、力的分解、摩擦力等知識。選題貼近生活實際,主要考查考生綜合應用學習過的力學知識和數學知識解決生活中的實際問題的能力。難度略高于高考難度。

考向二：牛頓運動定律的綜合應用

例2(卓越)如圖4所示,可視為質點的兩物塊A、B,質量分別為m、2m,物塊A放在一傾角θ=30°并固定在水平面上的光滑斜面上,一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑輕質定滑輪,兩端分別與物塊A、B相連接。托住物塊B使兩物塊處于靜止狀態,此時物塊B距地面的高度為h,輕繩剛好拉緊,物塊A和滑輪間的輕繩與斜面平行。現將物塊B從靜止釋放,斜面足夠長。重力加速度為g。求：

圖4

(1)物塊B落地前,輕繩中的張力T。

(2)整個過程中,物塊A沿斜面向上運動的最大距離L。

解析：(1)設物塊B落地前兩物塊加速度的大小為a,對于物塊A取沿斜面向上為正方向,對于物塊B取豎直向下為正方向,由牛頓第二定律得T-mgsinθ=m a,2mg-T=2m a,解得T=mg,a=g。

(2)由(1)得a=g；設物塊B落地前瞬間物塊A的速度為v,物塊B自下落開始至落地前瞬間的過程中,物塊A沿斜面運動的距離為h,由運動學公式得v2=2a h；設物塊B落地后,物塊A沿斜面運動過程中的加速度為a',則a'=-gsinθ；設物塊B落地后物塊A沿斜面向上運動的最大距離為s,由運動學公式得-v2=2a's。聯立以上各式解得s=h。因此整個過程中,物塊A沿斜面向上運動的最大距離L=s+h=2h。

點評：本題以連接體問題為背景,意在考查受力分析、力的分解、牛頓第二定律等知識。本題主要考查考生綜合應用牛頓運動定律解決連接體問題和多過程問題的能力。難度非常接近高考難度。

考向三：運動的合成與分解

例3(華約)如圖5所示,小球從臺階上以一定初速度水平拋出,恰落到第一級臺階邊緣,反彈后再次落下,經0.3s恰落至第3級臺階邊界。已知每級臺階寬度及高度均為18cm,取g=10m/s2,且小球反彈時水平速度不變,豎直速度反向,但變為原速度的。

圖5

(1)求小球拋出時的高度及距第一級臺階邊緣的水平距離。

(2)小球是否會落到第5級臺階上?請說明理由。

解析：(1)設臺階的寬度和高度為a,小球拋出時的水平初速度為v0,第一次與臺階碰撞前、后的速度的豎直分量(取豎直向上為正方向)的大小分別為vy1和vy'1,小球兩次與臺階碰撞的時間間隔為t0,則a=18cm=0.18m,t04vy1',解得vy1=v0=1.2m/s。設小球從第一次拋出到第一次落到臺階上的時間為t1,落點與拋出點之間的水平距離和豎直距離分別為x1和y1,則,解得y1=0.072m,x1=0.144m。

(2)設小球第二次與臺階碰撞前速度的豎直分量大小為vy2,則vy22-vy'12=2g·2a,解得vy2=2.7m/s,可見vy2＞vy1。小球反彈后再次落下到與第3級臺階相同的水平位置所用的時間將大于0.3s,水平位移將大于2a,所以小球不會落到第5級臺階上。

點評：本題以臺階上平拋小球為切入點,類似的情境曾在平拋運動中見過,但是題設的條件和設問方式大有不同。本題意在考查平拋運動規律、豎直上拋運動、運動的合成和分解等知識的靈活運用。考生若用斜拋運動規律進行求解,反而會顯得復雜,可見本題不僅重在考查考生應用運動的合成與分解解決問題的能力,而且更為本質的是考查考生靈活應用等效法的能力,很好地體現了對課程標準要求的過程與方法目標的考查。

考向四：萬有引力定律的綜合應用

例4(清華大學等五校)如圖6所示,衛星攜帶一探測器在半徑為3R(R為地球半徑)的圓形軌道上繞地球飛行。在a點,衛星上的輔助動力裝置短暫工作,將探測器沿運動方向射出(設輔助動力裝置噴出的氣體質量可忽略)。若探測器恰能完全脫離地球的引力,而衛星沿新的橢圓形軌道運動,其近地點b距地心的距離為n R(n略小于3),求衛星與探測器的質量比。(質量分別為M、m的兩個質點相距為r時的引力勢能為,式中G為引力常量)

圖6

解析：設地球質量為M,衛星質量為m,探測器質量為m',當衛星和探測器一起繞地球做圓周運動時,由萬有引力定律和牛頓第二定律得解得設分離后探測器速度為v',探測器剛好脫離地球引力應滿足,解得設分離后衛星速度為u,近地點速度為vb,則,解得。由分離前后動量守恒得(m+m')v=m u+m'v',解得

點評：本題以衛星拋射探測器為背景,意在考查萬有引力定律、動能定理、動量守恒定律等知識。試題注重對基本模型和基礎概念理解程度的考查,要求考生在理解的基礎上靈活應用。難度略高于高考難度。

考向五：動能定理

例5(北約)某車輛在平直路面上進行行駛測試,測試過程中速度v(帶有正負號)和時間t的關系如圖7所示。已知該過程中發動機和車內制動裝置對車輛所做總功為零,車輛與路面間的動摩擦因數μ為常量,試求μ值。數值計算時,取重力加速度g=10m/s2。

圖7

解析：對車輛正方向運動的整個過程應用動能定理得W1+Wz1-μm g x1=0-,對車輛負方向運動的整個過程應用動能定理得W2+Wz2-μm g x2=0,二式相加得W1+Wz1-μm g x1+W2+Wz2-μm g x2=根據題意知W1+Wz1+W2+Wz2=0,所以μm g(x1+x2)=由速度—時間圖像知v0=2m/s,x1=21m,x2=6m,解得

點評：本題以車輛在平直路面上進行行駛測試切入,意在考查動能定理、速度—時間圖像等知識。解答本題時,正確應用物理規律,規范解題過程,認真運算,顯得特別重要。難度與高考難度相當。

考向六：動量守恒定律

例6(北約)平直鐵軌上停著一節質量M=2m的小車廂,可以忽略車廂與水平鐵軌之間的摩擦。有N名組員沿著鐵軌方向列隊前行,另有1名組長在最后,每名組員的質量同為m。

(1)當組員和組長發現前面車廂時,都以相同速度v0跑步,每名組員在接近車廂時又以2v0速度跑著上車坐下,組長卻因跑步速度沒有改變而恰好未追上車,試求N。

(2)組員們上車后,組長前進速度減為,車上的組員朝著車廂前行方向一個接一個水平跳下,組員離開車瞬間相對車廂的速度大小同為u,結果又可使組長也能追上車。試問：跳車過程中組員們總共至少消耗掉人體中的多少內能?

解析：(1)設組員全部上車后,車的速度為v,由動量守恒定律得2Nm v0=(M+Nm)v,解得組長恰好未能追上車,必有v=v0,解得N=2。

(2)設第一名組員離開后車的速度為v1,第二名組員離開后車的速度為v2,由動量守恒定律得(M+2m)v0=(M+m)v1+m(v1+u),即4v0=4v1+u,解得v1=v0-同理得(M+m)v1=M v2+m(v2+u),即3v1=3v2+u,解得可使組長也能追上車,要求,即解得為了計算臨界情況,取,則,由能量守恒定律得

點評：本題以人跳上車廂為背景,考查動量守恒的條件及應用,同時考查物理學中最基礎的能量守恒定律,體現了對考生綜合應用動量守恒和能量守恒解決問題的能力的考查。難度很接近高考難度。

自主招生試題中關于力與運動部分的考查內容立足于現行高考要求的主干知識,顯示了“基礎知識是創新能力的載體、自主選拔與高考并軌”的命題意識,但為了拉開差距,還會附加部分高中未學而競賽中常涉及的重要知識點。這樣的命題模式,要求我們在自主選拔的備考中要做到“立足高考,穩扎穩打；兼顧競賽,適當拓寬知識面”。