創(chuàng)新命題推陳出新
———電場與磁場創(chuàng)新題賞析（二）

■江蘇省江陰高級中學(xué) 徐漢屏(特級教師)

在2018年各地模擬試題和高考試卷中出現(xiàn)了很多帶電粒子在電、磁復(fù)合場中運(yùn)動的創(chuàng)新性題目。這類試題涉及的受力分析更復(fù)雜,運(yùn)動分析更困難,導(dǎo)致很多同學(xué)遇到這樣的題目就感到膽怯,其實(shí)這類試題看似復(fù)雜難解,實(shí)則完全是有章可循,有法可依的,只要牢固掌握基礎(chǔ)知識,靈活運(yùn)用基本規(guī)律,合理進(jìn)行綜合分析,就能夠順利獲得最終結(jié)果。

一、帶電粒子在電與磁組合場中運(yùn)動的創(chuàng)新題賞析

創(chuàng)新題1：(2018年高考天津卷)如圖1所示,在水平線a b的下方有一勻強(qiáng)電場,電場強(qiáng)度為E,方向豎直向下,在水平線a b的上方存在勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于紙面向里。磁場中有一內(nèi)、外半徑分別為R、R的半圓環(huán)形區(qū)域,外圓與水平線a b的交點(diǎn)分別為M、N。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子在電場中P點(diǎn)由靜止釋放,由M點(diǎn)進(jìn)入磁場,從N點(diǎn)射出。不計(jì)粒子重力。

圖1

(1)求粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)所用的時(shí)間t。

(2)若粒子從與P點(diǎn)在同一水平線上的Q點(diǎn)水平射出,同樣能由M點(diǎn)進(jìn)入磁場,從N點(diǎn)射出。粒子在從M點(diǎn)到N點(diǎn)的過程中,始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動,且所用的時(shí)間最少,求粒子在Q點(diǎn)時(shí)速度v0的大小。

解析：(1)粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)在靜電力作用下做勻加速直線運(yùn)動。設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的速度大小為v,所受洛倫茲力提供向心力,則,解得設(shè)粒子在電場中運(yùn)動所受靜電力為F,則F=q E。設(shè)粒子在電場中運(yùn)動的加速度為a,根據(jù)牛頓第二定律得F=m a,解得a=粒子在電場中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動,則v=a t,解得

圖2

(2)粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后做勻速圓周運(yùn)動,其周期與速度、半徑無關(guān),運(yùn)動時(shí)間只由粒子所通過的圓弧所對的圓心角的大小決定,因此當(dāng)粒子的運(yùn)動軌跡與內(nèi)圓相切時(shí),所用的時(shí)間最短。如圖2所示,設(shè)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡半徑為r',由粒子從Q點(diǎn)射出后在電場中做類平拋運(yùn)動,在電場方向上的分運(yùn)動和從P點(diǎn)釋放后的運(yùn)動情況相同,所以粒子進(jìn)入磁場時(shí)沿豎直方向的分速度同樣為v,在垂直于電場方向上的分速度始終等于v0,則,解得

圖3

(2)若離子源產(chǎn)生的是帶電荷量為q、質(zhì)量為m1和m2的同位素離子(m1＞m2),它們分別到達(dá)照相底片上的P1、P2位置(圖中未畫出),求P1、P2兩點(diǎn)間的距離Δx。

(3)若(2)中兩同位素離子同時(shí)進(jìn)入加速電場,求它們到達(dá)照相底片上的時(shí)間差Δt。(磁場邊界與靠近磁場邊界的極板間的距離忽略不計(jì))

(2)設(shè)離子m1,離子m2在磁場中的運(yùn)動半徑分別是r1和r2,則所以照相底片上P1、P2兩點(diǎn)間的距離

(3)離子m1在電場中加速有在磁場中偏轉(zhuǎn)有離子m2在電場中加速有在磁場中偏轉(zhuǎn)有所以兩離子到達(dá)照相底片上的時(shí)間差Δt=(t1+t1')-(t2+t2')=

小結(jié)：創(chuàng)新題1與上述常規(guī)題均涉及電、磁復(fù)合場中的一種類型——電、磁組合場,所謂電、磁組合場是指電場和磁場分布在不同空間,兩種場組合在一起。創(chuàng)新題1是在上述常規(guī)題的基礎(chǔ)上,由粒子在電場中的加速并垂直穿越電場與磁場的分界面,繼而討論粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)并斜向穿越電場與磁場的分界面,提高了考查的難度和廣度。

圖4

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：(2018年高考全國Ⅰ卷)如圖4所示,在y＞0的區(qū)域存在方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場,場強(qiáng)大小為E；在y＜0的區(qū)域存在方向垂直于x O y平面向外的勻強(qiáng)磁場。一個(gè)氕核11H和一個(gè)氘核21H先后從y軸上y=h點(diǎn)以相同的動能射出,速度方向沿x軸正方向。已知11H進(jìn)入磁場時(shí),速度方向與x軸正方向間的夾角為60°,并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處第一次射出磁場。11H的質(zhì)量為m,電荷量為q,不計(jì)重力。求：

(2)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。

思路點(diǎn)撥：本題同樣涉及帶電粒子斜向穿越電場和磁場的分界面,涉及帶電粒子在電、磁組合場中不同形式的偏轉(zhuǎn)。

二、帶電粒子在電與磁疊加場中運(yùn)動的創(chuàng)新題賞析

創(chuàng)新題2：如圖6甲所示,在x O y平面的第Ⅰ象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場E1,第Ⅱ、Ⅲ象限內(nèi)同時(shí)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場E2和垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場B,已知E2=2.5N/C,磁場B隨時(shí)間t周期性變化的規(guī)律如圖6乙所示,B0=0.5T,取垂直于紙面向外為磁場正方向。一個(gè)質(zhì)量m=5×10-5k g、電荷量q=2×10-4C的帶正電液滴從P點(diǎn)(0.6m,0.8m)以某一初速度沿x軸負(fù)方向入射,恰好以沿y軸負(fù)方向的速度v經(jīng)過原點(diǎn)O后進(jìn)入x≤0的區(qū)域,t=0時(shí)刻液滴恰好通過O點(diǎn),取g=10m/s2。求：

圖6

(1)液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小v和電場強(qiáng)度大小E1。

(2)液滴從P點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次經(jīng)過x軸經(jīng)歷的時(shí)間t。

(3)若從某時(shí)刻起磁場突然消失,發(fā)現(xiàn)液滴恰好以與y軸正方向成37°角的方向穿過y軸后進(jìn)入x＞0的區(qū)域,試確定液滴穿過y軸時(shí)的位置。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

解析：(1)在x＞0的區(qū)域內(nèi),液滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動,由y=g t21,v=g t1,解得t1=0.4s,v=4m/s。液滴在水平方向上做勻減速運(yùn)動,由m a,解得E1=1.875N/C。

圖7

(2)液滴進(jìn)入x＜0的區(qū)域后,因?yàn)閝 E2=mg,所以液滴做勻速圓周運(yùn)動,運(yùn)動軌跡如圖7所示。設(shè)液滴做勻速圓周運(yùn)動的大、小圓半徑分別為r1、r2,運(yùn)動周期分別為T1、T2。由解得r1=2m,r2=1m。又有T1=,解得。液滴從P點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次經(jīng)過x軸經(jīng)歷的時(shí)間

(3)情形一：若磁場消失時(shí),液滴在x軸上方,如圖8所示。由幾何關(guān)系得OM1=根據(jù)周期性可知,液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)滿足解得

圖8

情形二：若磁場消失時(shí),液滴在x軸下方,如圖9所示。由幾何關(guān)系得ON1=根據(jù)周期性可知,液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)滿足sin37°),解得

圖9

如圖10甲所示,兩個(gè)完全相同的平行板電容器P Q和MN,板間距離為d,極板長度為L,極板厚度不計(jì)。將它們置于圖示方向足夠大的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0,兩電容器極板的左端和右端分別對齊,兩電容器極板所加電壓值相同。一質(zhì)量為m、電荷量為+q、重力不計(jì)的粒子從極板P、Q間的中軸線O1O2左邊緣的O1點(diǎn),以速度v0沿O1O2勻速穿過電容器P Q,經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后沿極板M、N的中軸線O3O4做勻速直線運(yùn)動,又經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)回到O1點(diǎn),如此循環(huán)往復(fù)。不計(jì)電容器之外的電場對粒子運(yùn)動的影響。求：

(1)兩電容器極板間所加電壓的數(shù)值U。

(2)Q板和M板間的距離x。

(3)粒子從O1點(diǎn)開始運(yùn)動到再次回到O1點(diǎn)所用的時(shí)間。

(4)若撤去電容器上所加的電壓,將原磁場換成按圖10乙規(guī)律變化的磁場,取垂直于紙面向里為磁場的正方向。粒子仍從O1點(diǎn)沿O1O2在t=0時(shí)刻以速度v0進(jìn)入電容器P Q,在t0時(shí)刻恰好從P板右邊緣水平射出(t0為未知量),則B1為多少?

圖10

提示：(1)由題意知粒子受到的靜電力與洛倫茲力平衡,則q E=q v0B0,又有解得U=v0d B0。

小結(jié)：創(chuàng)新題2與上述常規(guī)題均涉及電、磁復(fù)合場中的另一種類型——電、磁疊加場,且磁場做周期性變化。所謂電、磁組合場是指電場和磁場分布在同一空間,兩種場疊加在一起。創(chuàng)新題2在電、磁疊加場的右上方又組合了一個(gè)勻強(qiáng)電場,帶電液滴先經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后才進(jìn)入電、磁組合場,另外還需討論撤去磁場后液滴穿越y(tǒng)軸的多種情況,陡然增加了問題的復(fù)雜性。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：如圖11甲所示,豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(上、下及左側(cè)無邊界)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q、可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球,以水平初速度v0沿直線P Q向右做直線運(yùn)動。若小球剛經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)(t=0),在電場所在空間疊加如圖11乙所示隨時(shí)間周期性變化、垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,使得小球再次通過D點(diǎn)時(shí)與直線P Q成60°角。已知D、Q兩點(diǎn)間的距離為(+1)L,t0小于小球在磁場中做圓周運(yùn)動的周期,忽略磁場變化造成的影響,重力加速度為g,求：

圖11

(1)電場強(qiáng)度E的大小。

(2)t0與t1的比值。

(3)小球過D點(diǎn)后將做周期性運(yùn)動,則當(dāng)小球運(yùn)動的周期最大時(shí),求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小及最大周期Tmax。

思路點(diǎn)撥：本題同樣涉及帶電物體在電、磁疊加場中的運(yùn)動,磁場也在做周期性變化。

(1)由平衡條件得mg=q E,解得

(2)小球能再次通過D點(diǎn),其運(yùn)動軌跡如圖12所示,設(shè)圓O1的半徑為r,則s=v0t1,由幾何關(guān)系得解得t1=設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T,則

圖12

(3)當(dāng)小球運(yùn)動的周期最大時(shí),其運(yùn)動軌跡應(yīng)與豎直面MN相切,小球一個(gè)周期的運(yùn)動軌跡如圖13所示,由幾何關(guān)系得R+解得R=L。由牛頓第二定律得解得小球在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動的路程因此

圖13