分層抽樣題型例析

■徐振鐸

分層抽樣法也叫類型抽樣法或分類抽樣法，它是從一個(gè)可以分成不同子總體（或稱為層）的總體中，按規(guī)定的比例從不同層中隨機(jī)抽取樣品（個(gè)體）的方法。分層抽樣法的優(yōu)點(diǎn)是樣本的代表性比較好、抽樣誤差比較小，缺點(diǎn)是抽樣手續(xù)比簡單隨機(jī)抽樣還要復(fù)雜些。

一、求總體容量

例1交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員（簡稱駕駛員）對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲，乙，丙，丁四個(gè)社區(qū)作分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲，乙，丙，丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（ ）。

解：由題意知抽樣比為，而四個(gè)社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為12+21+25+43=101，故，解得N=808。應(yīng)選B。

二、求樣本容量

例2某工廠生產(chǎn)甲，乙，丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3:5:7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n=（ ）。

解：由分層抽樣法，可得18，解得n=90，即樣本容量為90。應(yīng)選B。

三、求各層抽取的樣本數(shù)

例3某學(xué)校在校學(xué)生2000人，為了加強(qiáng)學(xué)生的鍛煉意識(shí)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且每人只參加其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參加比賽的人數(shù)情況如表1所示，其中a:b:c=2:5:3，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的為了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則在高三年級(jí)參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）。

表1

解：由題意可知全校參加跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以高三年級(jí)參加跑步的總?cè)藬?shù)為。由分層抽樣法，可得高三年級(jí)參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為應(yīng)選D。

四、分層抽樣方案的設(shè)計(jì)

例4某公司有1000名員工，其中高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者。現(xiàn)要對(duì)這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行抽樣?

解：可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三層，即高收入者，中等收入者，低收入者。

由所給數(shù)據(jù)可以看出，高收入者為50名，占所有員工的比例為為保證樣本的代表性，在所抽取的100名員工中，高收入者所占的比例也應(yīng)為5%，由100×5%=5，可知應(yīng)抽取5名高層管理人員。

同理可知，抽取15名中層管理人員，抽取80名一般員工，再對(duì)收入狀況分別進(jìn)行調(diào)查。