迭代與迭代函數

張勝黎

(浙江省杭州市艮山中學 310003)

一、迭代函數的定義

迭代函數是重復的與自身復合的函數，這個過程叫做迭代，每一次對過程的重復稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結果將作為下一次迭代的初始值.

對于函數f(x)，令f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，…,fn(x)=f(fn-1(x))，其中n≥2,n∈N*，我們將fn(x)稱為函數f(x)的n次迭代．

迭代函數在高中數學中出現的頻率很高，難度較大，本文將這類問題收集整理，以饗讀者.

二、函數的二次迭代

例1 已知函數f(x)=asinx+bcosx(a,b∈Z),且滿足{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0},則a的最大值為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

評注在這里，由f(0)=0得到b=0，簡化了表達式.

A．0

解由已知，f(0)=0，于是a=0，f(x)=bx2+cx.

當c=0時，{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}={0}，滿足題意；

當c≠0時，f(f(x))=f(x)(bf(x)+c)=0等價于f(x)=0或bf(x)+c=0，只需方程bf(x)+c=b2x2+bcx+c=0無解，即Δ=b2c2-4b2c<0，因為b≠0，于是0

綜上所述，0≤c<4.選C.

例3 巳知函數f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).設集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=f(x)},C={x|f(f(x))=0}.

(1)當a=2,A={2}時，求集合B；

解(1)由a=2,A={2}，得方程f(x)=x有且只有一根2，即f(x)-x=2(x-2)2,于是b=-7,c=8.

又方程f(f(x))=0等價于f(x)=x1或f(x)=x2.

由于x1≠x2，可知方程f(x)=x1與f(x)=x2不會有相同的實根,從而方程f(f(x))=0有4個不相等的實根, 即集合C中的元素有4個．

三、函數的n次迭代

例4 已知f(x)是一次函數，令f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，其中n≥2,n∈N*，若f2018(x)=22018x+3(22018-1)，求f(x).

解令f(x)=ax+b(a≠0)，則f2(x)=f(ax+b)=a2x+(a+1)b，f3(x)=f(a2x+(a+1)b)=a3x+(a2+a+1)b，一般地，fn(x)=anx+(an-1+…+a+1)b，比較系數可知，a=2，b=3，即f(x)=2x+3.

例5 已知f(x)=x2-2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n∈N*)，若函數y=fn(x)-x不存在零點，則實數c的取值范圍是( ).

于是f(f(x))>f(x)>x也成立，重復上述過程，可知fn(x)>x也成立.選C.

例6 (2012年北大保送生考試題)已知f(x)是二次函數，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))構成正項等比數列，求證：f(a)=a.

證明設f(a)=qa(q>0)，則f(f(a))=f(qa)=q2a，f(f(f(a)))=f(q2a)=q3a.

②-①得ma2(q2-1)+na(q-1)=a(q2-q)，

即(q-1)[ma2(q+1)+na]=qa(q-1).…④

③-②，約去q后得(q-1)[ma2(q+1)q+na]=qa(q-1).…⑤

假設q≠1，那么由④、⑤約去q-1后相減得

ma2(q+1)(q-1)=0，得q+1=0，這與q>0矛盾.

綜上，q=1，即f(a)=a.

變式：已知f(x)是二次函數，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))構成等差數列，求證：f(a)=a.

證明設f(a)=a+d，則f(f(a))=f(a+d)=a+2d，f(f(f(a)))=f(a+2d)=a+3d.

②-①得d[m(2a+d)+n]=d,…④，

③-②，同理得d[m(2a+3d)+n]=d,…⑤

假設d≠0，那么由④、⑤約去d后相減得

md=0，這與m≠0,d≠0矛盾.

綜上，d=0，即f(a)=a.

推廣1 已知f(x)是三次函數，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))，f(f(f(f(a))))成正項等比數列，則f(a)=a.

推廣2 已知f(x)是一元n(n∈N*)次多項式函數，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…,f(f(f…(f(a))))(共n+1個f)構成正項等比數列，則f(a)=a.

評注通過迭代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合，會聚到的這個點叫做吸引不動點.

四、函數迭代在遞推數列中的應用

遞推數列an+1=f(an)，在本質上就是函數迭代問題．我們記方程f(x)=x的解x0為函數f(x)的不動點.

例7 已知數列{an}中a1=1，an+1=2an+3，求an.

解記f(x)=2x+3，則an+1=f(an).

解方程f(x)=x，得x0=-3為函數f(x)的不動點.

由an+1=2an+3，可得an+1+3=2(an+3)，所以數列{an+3}為等比數列，首項為a1+3=4，公比為2，所以an+3=(a1+3)·2n-1，所以an=2n+1-3.

解方程f(x)=x，得x0=1為函數f(x)的不動點.

解方程f(x)=x，得x1=0,x2=-1為函數f(x)的不動點.

遞推數列的收斂點就是函數的不動點，函數迭代的重復反饋過程的活動，它的目的常常是為了逼近所需的目標或結果，這是工程物理中經常見到的.