數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

張 俊

(廣東省佛山市三水區(qū)三水中學(xué) 528100)

華羅庚曾用“數(shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微”這句話對數(shù)形結(jié)合進(jìn)行了描述，可見數(shù)形結(jié)合的重要性.本文從求解面積問題、周長問題、軌跡問題等等方面，對數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用進(jìn)行了分析.

一、面積問題

例1 在直線3x+4y+0=0上有動點(diǎn)P，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，且A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.

圖1

就本題來講，直接根據(jù)題意進(jìn)行求解，難度較大，但是利用“點(diǎn)到直線”的距離公式，便可以提升解題的效率以及準(zhǔn)確性.

二、周長問題

數(shù)形結(jié)合是一種重要的解題手段，在具體使用過程中主要有兩種情況：第一，借助數(shù)的精確性來對形的某種屬性進(jìn)行概述，即“以數(shù)輔形”；第二，通過圖形來概述某種數(shù)量關(guān)系，即“以形助數(shù)”.其中“以形助數(shù)”是數(shù)形結(jié)合在幾何解題中的常用手法，通過分析數(shù)學(xué)問題當(dāng)中條件與結(jié)果之間的關(guān)系，進(jìn)一步理解代數(shù)意義與幾何直觀，從而精確刻畫代數(shù)關(guān)系，并與幾何進(jìn)行結(jié)合以及轉(zhuǎn)化，將解題思路梳理清楚，使其解題更加簡單、簡化.

解題∵F1M為圓的切線，∴OM⊥F1M，在直角三角形OMF1中,|OM|=5.設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為F2，連接NF2，∴OT為△F1F2N的中位線，∴2|OT|=|NF2|.倘若設(shè)|OT|=x，那么可以得知|NF2|=2x，又∵|NF1|-|NF2|=10，∴|NF1|=|NF2|+10=2x+10,∴|TF1|=x+5.

圖2

該題求解“三角形外接圓的周長”，實(shí)則也對“直線與雙曲線的位置關(guān)系”、“雙線定義”等等知識的數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用進(jìn)行了考查.對于高中學(xué)生來說，解析幾何是比較能夠掌握的知識點(diǎn)，然而計(jì)算卻是解析幾何的難點(diǎn)，所以，需要采用更好的解題方法，盡可能減少解題過程中的阻礙因素，善用“以形助數(shù)”，通過圖形來替代大量的計(jì)算，從而提高解題效率，減少不必要的失誤.

三、軌跡問題

在求解曲線的軌跡方程時(shí)，可以結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及待定系數(shù)法，求得軌跡方程.

圖3

總之，數(shù)形結(jié)合是解決高中幾何問題的一種重要思想方法，能夠?qū)⒃緩?fù)雜化的問題變得更加簡單化，讓邏輯推理以及計(jì)算過程變得更加直觀與清晰，獲得全新的解題思路，從而提高解題效率與質(zhì)量.因此，數(shù)形結(jié)合在高中幾何解題中的應(yīng)用還應(yīng)該繼續(xù)深入研究，以求能夠找到更多具有實(shí)踐操作性的方法，幫助學(xué)生提高解題能力，提升數(shù)學(xué)成績.