例談關于解斜三角形的試題類型

楊宜龍

(河北省石家莊西山學校 050000)

下面本文對該知識點在高考中的考查進行分類解析，供同學們參考：

一、已知三角形的三個獨立條件(不含已知三個角的情況)，求解三角形

分析已知三角形的兩邊和其一邊的對角這種類型題目，是同學們在學習過程中感到最困難的一種習題，這種習題可以利用正弦定理和余弦定理進行解決.

點評用正弦定理解題，往往通過大邊對大角這一性質判斷解的個數；而用余弦定理解題，往往通過根的正負或Δ來判斷解的個數.

二、判斷三角形的形狀

例2 在△ABC中，已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，判斷三角形的形狀.

分析判斷三角形的形狀通常是根據正弦定理或余弦定理將已知條件變換成只含邊或角的式子，再通過邊或角的關系判斷出三角形的形狀.

解將原式轉化為

(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)

=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

由正弦定理得acosA=bcosB，

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，整理得

(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,

(a2-c2)(a2+b2-c2)=0.

∴a=b或a2+b2=c2.

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

三、三角形中恒等式的化簡與證明

點評證明三角形中的邊角等式的主要依據是正弦定理、余弦定理以及三角式的恒等變形，運用正弦定理、余弦定理實現邊與角之間的相互轉換.

四、三角形中的求值問題

點評本題考查誘導公式、二倍角公式的應用，利用特殊三角函數值求角,二次函數求最值用到了配方法.

五、利用斜三角形解決實際應用問題

近幾年來的高考應用性問題不難看出，試題從實際出發提供公平的背景，設計新穎，這就要求我們關注生活、科技發展等各個方面，不斷追求新知，學會將實際問題抽象為數學問題，需要提高我們運用數學知識解決實際問題的能力.

例5 如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待救援.甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1°)？

∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°.

所以，乙船應朝北偏東71°方向前往B處救援.

點評本題考查了解三角形中的正弦、余弦定理，函數值與角的互化及運算能力.考查學生對數學知識的應用及數形結合的能力，該題型是高考常考題型，在解此類題目時不要忘記方位角的定義.