例談函數單調性的“四用”

劉依軒

(河北省唐山市第二中學 063000)

函數單調性是函數的重要性質之一，也是高考熱點問題之一，我在學習中不斷地總結了函數單調性的一些問題，下面舉例說明函數單調性在解題中的應用.

一、正用

是指直接利用單調函數概念，證明或判斷一個函數是增函數或減函數．其步驟通常是：(1)設x1,x2是給定區間內的任意兩個值，且x1

證明如下：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1

∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).

∴f(x)在區間(1，+∞)上是單調減函數.

同理可證，f(x)在區間(-∞，-1)和(-1，0)以及(0，1)上的單調性．

點評由定義法求函數的單調區間時，需要分兩步：一是在定義域區間內設兩個數x1

例2 已知函數f(x)=x2-2ax+3a2-1 (a>0，0≤x≤1)．

分析將f(x)=x2-2ax+3a2-1配方得f(x)=(x-a)2+2a2-1，有同學認為f(x)的最小值是2a2-1，最大值不存在，這是錯誤的．根據函數對稱軸與定義域的關系，需要討論直線x=a相對于區間[0，1]的各種可能．

解(1)f(x)=x2-2ax+3a2-1= (x-a)2+2a2-1.當a≥1時，由于f(x)在[0，1]上是減函數，故f(x)的最大值為f(0)=3a2-1，最小值為f(1)=3a2-2a；

當0

二、逆用

逆用是指已知函數的單調性，求參數的取值范圍．

例3 已知函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-∞,4]上是減函數，求實數a的取值范圍.

解f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2.

此二次函數的圖象對稱軸為x=1-a，開口向上．

可得1-a≥4，解得a≤-3．

實數a的取值范圍是(-∞，-3]．

點評本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．

點評本題主要考查用分離常數化簡函數的解析式，利用函數的單調性來解題.

三、活用

由單調函數的定義易知，任何一個單調函數，在其單調區間上每個自變量與函數值之間是一一對應的.應用此性質解題是單調函數概念運用的一個重要方面.

例5 設f(x)=x3-3x2+6x-6，若f(a)=1，f(b)=-5，則a+b=( ).

A.-2 B.0 C.1 D.2

解原函數可化為f(x)=(x-1)3+3(x-1)-2．

又f(a)=1，f(b)=-5，則可得(a-1)3+3(a-1)=3，(1-b)3+3(1-b)=3．

又設函數f(t)=t3+3t，故上面等式可化為f(a-1)=f(1-b).易知函數f(t)=t3+3t在R上是單調遞增函數，因此a-1=1-b，得a+b=2．

點評本題解題的關鍵是先將函數f(x)=x3-3x2+6x-6變形為f(x)=(x-1)3+3(x-1)-2(這也是求解此題的突破點)然后利用所得到的式子①構造函數f(t)=t3+3t最后利用函數f(t)的單調性奇偶性即可求解．

點評本題利用先變形函數關系式，進而對函數的單調性進行判斷，把原問題轉化為對函數單調性的討論，使問題迎刃而解.

四、構造用

即非單調函數問題(如不等式證明、求值等)，通過構造，轉化為單調函數，再用單調函數的性質來解決．

例7 已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證abc+2>a+b+c.

解析考查目標不等式，可等價變形為(bc-1)a+2-b-c>0.視b、c為常量，a為變量，構造一次函數f(x)=(bc-1)x+2-b-c(|x|<1)，由|b|<1，|c|<1，可知bc-1<0，所以f(x)在(-1，1)上是減函數．又-1f(1)=(bc-1)·1+2-b-c=(b-1)(c-1)>0，即(bc-1)a+2-b-c>0.原不等式輕松獲證．