解壓軸題：輪換對(duì)稱 化曲為直

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語中學(xué) 362000；2.福建省泉州第五中學(xué) 362000)

壓軸題中有一類是條件不等式問題，其條件與結(jié)論都是關(guān)于某幾個(gè)變量的輪換對(duì)稱式，而且這幾個(gè)變量的和為定量，結(jié)論是這幾個(gè)變量的某個(gè)函數(shù)值和的形式.針對(duì)這類問題，本篇介紹的解決方法是：構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)圖象在變量均值處切線方程，證明函數(shù)圖象在指定范圍內(nèi)恒在切線上方或下方，把所求函數(shù)值的和放縮為切線函數(shù)值的和，從而解決問題.

例題1 (2009年金考卷猜題卷(一))設(shè)函數(shù)f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的圖象在x=2處的切線與直線y=12-5x平行.

(1)求m的值和該切線的方程；

(2)若對(duì)?x1,x2∈[0,1]，|f(x1)-f(x2)|≤M恒成立，求M的最小值；

分析與解(1)切線的方程為： 5x+y-10=0.

方法三(配套參考解答)

f(x)=(1+x2)(2-x)，由(Ⅱ)得：當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，

由已知得

(1)求a的值及f1(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由；

(3)設(shè)x1,x2,…,xn為正實(shí)數(shù)，且x1+x2+…+xn=1，證明：

fn(x1)+fn(x2)+fn(x3)+…+fn(xn)≥0.

∵n∈N*且x∈(0,1)時(shí)，2n2+1-nx-nx3-x2=n(2n-x-x3)+(1-x2)>0，

(2)判斷函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

(3)已知數(shù)列{an}滿足：0

若不等式f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)≤g(x)在x∈(p,+∞)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)p的最小值.

(2)g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)p<-1時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)p=-1時(shí)，有1個(gè)；當(dāng)p>-1時(shí)，沒有. 理由略.

當(dāng)x∈(p,p+1)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(p+1,+∞)時(shí)，g′(x)>0.

∴g(x)在區(qū)間(p,p+1]單調(diào)遞減，在區(qū)間(p+1,+∞)單調(diào)遞增，g(x)min=g(p+1)=p+1，則p≥6044.

∴所求實(shí)數(shù)p的最小值為6044.

例題4 已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)已知x1,x2,…,x100∈(0,1)，且x1+x2+…+x100=50，求f(x1)+f(x2)+…+f(x100)的最小值.

(2)當(dāng)k>1-ln2時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)k=1-ln2時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)k<1-ln2時(shí)，g(x)沒有零點(diǎn).理由略.

則f(x1)+f(x2)+…+f(x100)≥(1-ln2)(x1+x2+…+x100)-50=-50ln2，

則所求f(x1)+f(x2)+…+f(x100)最小值為-50ln2.