一道診斷考試題的推廣探究

董 強(qiáng)

(甘肅省西和縣第一中學(xué) 742100)

2017年甘肅省第一次診斷考試中的圓錐曲線試題是探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得給定表達(dá)式為定值的探究問(wèn)題，有別于以往的是否存在一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題的探究，其中所涉探究過(guò)程均依托于圓錐曲線的定義.筆者覺(jué)得頗有研究的價(jià)值，也是一種新的命題方向，在此將試題解析與推廣探究過(guò)程與讀者分享，以引起更多師生的關(guān)注.

一、試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

二、試題解析

解析設(shè)P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

即x1x2+2y1y2=0(*).

三、推廣探究

對(duì)上述試題第二問(wèn)的結(jié)論可以作以下一般性的推廣：

圓可以看作橢圓的特殊情形，于是在圓中有如下的結(jié)論.

雙曲線和橢圓具有很多相似的性質(zhì)，上述結(jié)論還可以在雙曲線中做一般性的推廣.

證明設(shè)P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線，上述相應(yīng)的結(jié)論依然成立.

結(jié)論1和結(jié)論3雖然隸屬不同的曲線類型，但其形式上是相同的，可以將二者合并為如下的結(jié)論.