“等效重力”思想的應用
——從一道高考題說起

陳篤杰

(福建省漳州市第三中學 363000)

一、2018年全國Ⅰ卷第18題的探討

原題：如圖1，abc是豎直面內的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一的圓弧，與ab相切于b點.一質量為m的小球始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點處從靜止開始向右運動，重力加速度大小為g.小球從a點開始運動到其軌跡最高點，機械能的增量為( ).

A．2mgRB．4mgRC．5mgRD．6mgR

分析本題用很基本、簡潔的物理模型來考查物理規律和思維方法，這也是全國卷命題的特點之一.學生對熟悉的物理情景容易上手，解題的關鍵是小球始終受到一個水平恒力，對文字表述“運動到其軌跡最高點”要細心審題，避免跳進“陷阱”.此題將運動的合成與分解、功能關系等核心考點有機融合，突出考查學生分析綜合能力.

解法一設小球運動到c點的速度大小為vc，如圖2，小球從a到c的過程中

小球離開c點到軌跡最高點的過程中，由運動的分解得

豎直方向上：小球只在重力的作用下，速度從vc勻減速到0

水平方向上：小球做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a=g

小球從a點開始運動到其軌跡最高點的過程中，總水平位移大小為5R

由功能關系得：小球機械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR

該解法中規中矩，要求學生具有扎實的基本功和一定的數學計算能力.然而作為一道選擇題我們可以尋求較簡捷的方法.

解法二我們可以設想，整個軌道模型處在一個與水平方向成45°斜向右下方的“等效重力場”中，四分之一圓弧的中點可稱為“等效最低點”.如果在c點上方再補上一段豎直光滑軌道，如圖4，從“等效重力場”的角度觀察，呈現了我們熟悉的情景——“伽利略理想實驗”的兩個對接的斜面.根據對稱性，小球從a點靜止出發“沿斜面滾下”經圓弧后又會“沿斜面滾上”相同的“高度”，即恰好到達d點，cd=2R.

再撤去豎直光滑軌道，小球從c點拋出后，由于豎直方向上只受重力，按分運動的“獨立性”可知，小球離開c點后到其軌跡最高點的豎直高度也為2R.又因水平和豎直方向上的兩個分運動具有“對稱性”，容易得出小球達到軌跡最高點時的水平位移也為2R，則從a點開始的水平總位移為5R，由功能關系得小球機械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR.

解法二強調的是“物理思想”的應用，等效重力場確定后只要簡單分析和推理，基本上無需數學計算就能快速得出結果，提高了解題效率.

下面以這道高考題為母題，通過一些簡單的變形來探討“等效重力”的應用.

二、一題多變、拓展延伸

拓展一在原題的基礎上改為求：小球從c點拋出后經多少時間動能最??？最小動能為多少？

豎直方向上：做初速度為vc，加速度為g的勻減速運動

vy=vc-gt

水平方向上：做初速度為零，加速度為g的勻加速運動vx=gt

小球上拋后的速度

該解法運用二次函數求速度極值較繁瑣，要求學生具備較強的數學能力.

設小球斜拋到“等效最高點”d點的時間為t，有最小速度vmin

可見，解法二應用“等效重力”解題，思路清晰、過程簡潔.

“等效重力場”(g′)與豎直方向夾角為α

設ab距離為S時,小球恰能做完整的圓周運動,小球在經過”等效最高點”c點時,對軌道壓力恰好為零,即小球在c點只受”等效重力”mg′,cO方向與豎直方向夾角也為α.

拓展三如圖9,光滑的水平軌道和圓弧軌道在b點相切，整個裝置處于一個水平向右的勻強電場中.帶電小球在c點平衡,oc與豎直方向夾角α=30°.(1)要使小球運動到b點時速度為零,則小球由靜止釋放的位置與O連線與豎直方向夾角β為多少？

(2)若α≤5°，則小球從靜止釋放到達b點的時間為多少？

解(1)由于帶電小球在c點平衡，可知c點為“等效最低點”，“等效重力”mg′方向沿Oc，如圖10，根據對稱性，小球應從c點右側的b′點靜止釋放，b′點與b點關于Oc對稱.因此，Ob′與豎直方向的夾角β=2α=60°，小球從b′點靜止出發后將在bb′之間往復運動.

(2)若α≤5°，則小球將在bb′之間做簡諧振動

從靜止釋放后到達b點的時間

“等效重力”是等效思想在解題過程中的一種具體應用，是培養學生從不同角度思考問題能力的重要途徑.我們可以利用類比法把一些復雜的、生疏的問題等效為我們熟知的、經典的重力場問題，使解題思路更加豁然開朗，減少繁瑣的數學計算，達到“柳暗花明”的效果.

在重力場和勻強電場組成的復合場中，可應用“等效重力”處理的常見問題有：豎直平面內圓周運動的臨界問題、單擺的對稱性問題、求解拋體運動速度(動能、動量)極值的問題等.