廣義四參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布密度函數的圖像特征

王蓉華，顧蓓青，徐曉嶺

（1.上海師范大學 數理學院，上海 200234；2.上海對外經貿大學 統計與信息學院，上海 201620）

0 引言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中的一個重要失效分布模型，這個模型是Birnbaum和Sauders于1969年在研究主因裂紋擴展導致的材料失效過程中推導出來的，這一模型在機械產品可靠性研究中應用廣泛，主要應用于疲勞失效研究，對于電子產品性能退化失效分析也有重要應用。

設X服從兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)，其分布函數F(x)與密度函數分別為：

其中，α＞0稱為形狀參數，β＞0稱為刻度參數（或者稱為尺度參數），φ(x)，Φ(x)分別為標準正態分布的密度函數與分布函數，即：

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是從疲勞過程的基本特征出發導出的，因此它比常用壽命分布如威布爾分布,對數正態分布更適合描述某些由于疲勞而引起失效的產品壽命規律。此分布已經成為可靠性統計分析中的常用分布之一。

已有眾多的文獻對兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)進行了研究[1-7]，值得指出的是，Owen[8]首次提出一種廣義三參數BS疲勞壽命分布，在此記為GBSI(m，α，β) ，其 分 布 函 數 的 形 式 為 ：F(x)=Φ其后 Diaz-Garcia等[9]、Fierro等[10]也都對GBSI(m，α，β)分布作過初步研究，Chacko等[11]專門對GBSI(m，α，β)分布作了研究，畫出了該分布密度函數的圖像，討論了其簡單的性質，并寫出了似然函數的形式。Owen[12]也提出了一種新的廣義三參數BS疲勞壽命分布，在此 記 為GBSII(m，α，β)，其 分布函 數 的形式 為 ：，研究了參數的點估計，其涉及到一個復雜的二元超越方程的求解問題。

本文提出一種廣義四參數BS疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，研究了該分布的性質及密度函數的圖像特征。

1 廣義四參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1,m2,α,β )

設非負隨機變量λ(x)服從廣義四參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，其分布函數f(x)與密度函數分別為：

其中，x＞0，α＞0，β＞0，m1＞0，m2＞0

特別地，（1）若取m1=m2=m，β′=β1/(2m)，此時

參數BS疲勞壽命分布GBSI(m，α，β′)。

（2）若取m1=1-m，m2=m，0＜m＜1，此時F(x)=Φ即為文獻[12]中的廣義三參數BS疲勞壽命分布GBSII(m，α，β)。

（3）若取m1=m2=0.5，即為兩參數BS疲勞壽命分布BS(α，β)。

定理1：設X～GBS(m1，m2，α，β)，其分布函數、密度函數分別記為F(x)，f(x) ，記Y=X-1，則：（1）Y～GBS(m2，（3）密度函數f(x)的圖像特征為“單峰”（即“倒浴盆”形）或“雙峰”（即“M”形），也有可能呈“三峰”。

2 分情況討論

（1）若g2(y)≤0，g′1(y)≤0時

由此，f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，即呈“倒浴盆”形。

由此，f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，即呈“倒浴盆”形。

（a）當g1(y)≤0時，g′(y)≤0，易見f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，即呈“倒浴盆”形。

（b）存在y11，y12，y11＜y12有g1(y11)=g1(y12)=0 時，當0＜y＜y11時 ，g1(y)＜0 ，g′(y)＜0 ；當y11＜y＜y12時 ，g1(y)＞0，g′(y)＞0；當y＞y12時，g1(y)＜0，g′(y)＜0

若 存 在y0有g(y0)=0 ，當 0＜y＜y0時 ，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當y＞y0時，g(y)＜0，f′(x)＜0 ，即f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形 。 若 存 在y01，y02，y03，y01＜y02＜y03有g(y01)=g(y02)=g(y03)=0 ，當 0＜y＜y01時 ，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當y01＜y＜y02時 ，g(y)＜0，f′(x)＜0 ；當y02＜y＜y03時 ，g(y)＞0，f′(x)＞0；當y＞y03時，g(y)＜0，f′(x)＜0

則f(x)的圖像是“先嚴格單調增加再嚴格單調下降后嚴格單調增加最后再嚴格單調下降”，呈“M”形，f(x)具有“雙峰”特征。

（a）存 在y1有g1(y1)=0 ，當 0＜y＜y1時 ，g1(y)＞0，g′(y)＞0 ；當y＞y1時，g1(y)＜0，g′(y)＜0 ，則f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，即呈“倒浴盆”形。

（b）存 在y11，y12，y13，y11＜y12＜y13有g1(y11)=g1(y12)=g1(y13)=0 時，當 0＜y＜y11時，g1(y)＞0 ，g′(y)＞0 ；當y11＜y＜y12時 ，g1(y)＜0，g′(y)＜0 ；當y12＜y＜y13時 ，g1(y)＞0，g′(y)＞0 ；當y＞y13時，g1(y)＜0，g′(y)＜0

若存在y0有g(y0)=0，當 0＜y＜y0時，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當y＞y0時，g(y)＜0，f′(x)＜0，即f(x)的圖像是“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形。若存在y01，y02，y03，y01＜y02＜y03有g(y01)=g(y02)=g(y03)=0 ，當0＜y＜y01時，g(y)＞0，f′(x)＞0 ；當y01＜y＜y02時，g(y)＜0，f′(x)＜0；當y02＜y＜y03時，g(y)＞0，f′(x)＞0；當y＞y03時，g(y)＜0，f′(x)＜0

則f(x)的圖像是“先嚴格單調增加再嚴格單調下降后嚴格單調增加最后再嚴格單調下降”，呈“M”形，f(x)具有“雙峰”特征。

針對情形二與情形三，f(x)的圖像可能是（1）“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形；（2）“先嚴格單調增加再嚴格單調下降后嚴格單調增加最后再嚴格單調下降”，呈“M”形，具有“雙峰”特征。針對情形四，f(x)的圖像可能是（1）“先嚴格單調增加后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形；（2）“先嚴格單調增加再嚴格單調下降后嚴格單調增加最后再嚴格單調下降”，呈“M”形，具有“雙峰”特征；（3）“先嚴格單調增加后嚴格單調下降再嚴格單調增加再嚴格單調下降最后再嚴格單調下降”，具有“三峰”特征。值得注意的是，針對不同的參數考察其密度函數的圖像，發現“三峰”現象并沒有出現。

針對不同的參數取值，其密度函數f(x)的圖像見圖1至圖4所示：

圖1 α=1，β=1，m1=2，m2=3

圖2 α=10，β=1，m1=2，m2=3

類似于定理1的證明，針對GBSI(m，α，β)、GBSII(m，α，β)分布分別得到如下定理2與定理3的結論。

定理2：設X～GBSI(m，α，β)，則（1）當0＜m≤1時，X的密度函數f(x)呈“倒浴盆”形；（2）當m＞1且時，f(x)呈“倒浴盆”形；（3）當m＞1且有可能呈“單峰”或“雙峰”形。

圖3 α=10，β=1，m1=4，m2=2

圖4 α=1，β=1，m1=0.5，m2=0.4

定理3：設X～GBSII(m，α，β)，則當m＞0.5時，X的密度函數f(x)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能呈“雙峰”形；當m＜0.5時，f(x)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能呈“雙峰”形或“三峰”形。

值得注意的是，針對不同的參數考察其密度函數的圖像，發現當0＜m＜0.5時，并沒有“三峰”現象沒有出現，而當0.5＜m＜1時，沒有“雙峰”現象出現。

3 結論

本文對Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布進行了推廣，提出了一種廣義四參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBS(m1，m2，α，β)，而兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)、廣義三參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布GBSI(m，α，β)和GBSII(m，α，β)都是其取特定參數后的特殊情況。同時，研究了該分布的性質及密度函數的圖像特征，其密度函數可能呈現“單峰”、“雙峰”或“三峰”的形態，因此可以用它更好地擬合一些失效產品的壽命規律。