基于后悔理論的不確定風險型多屬性決策VIKOR方法

譚春橋，張曉丹

（中南大學 商學院，長沙 410083）

0 引言

風險型多屬性決策問題是現(xiàn)實生活中經(jīng)常會遇到的一類決策問題，如要進行新產(chǎn)品的開發(fā)或者選擇某一投資項目[1]，它們往往具有多種自然狀態(tài)和多個屬性，而各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率能夠事先預估，但在不同的自然狀態(tài)下備選方案的屬性值各有不同。因此，決策時需要綜合考慮各種自然狀態(tài)，從而在有限的方案中進行抉擇。由于風險型多屬性決策問題的復雜性和不確定性，屬性值的表現(xiàn)形式越來越多樣化，不僅僅是確切的數(shù)值，還包括區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等信息形式，如何科學有效的處理模糊化形式的信息也顯得尤為重要。

但是，當決策者參與某一決策過程時，決策者往往表現(xiàn)出有限行為理性，他們會受到各種心理因素的影響，如損失厭惡或風險規(guī)避，進而影響到?jīng)Q策時的選擇。對于風險型多屬性決策問題，同時考慮到?jīng)Q策者的有限行為理性，一些學者和專家也給出了相應的研究成果。如王堅強和周玲[2]通過建立前景決策矩陣和構(gòu)建離差最大化的優(yōu)化模型對屬性權(quán)重不確定的灰色風險型多屬性決策問題進行排序；Liu,Jin等[3]通過構(gòu)建不確定語言短語的前景價值函數(shù)和區(qū)間概率權(quán)重函數(shù)對屬性值為語言變量且狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)的風險型多屬性決策問題進行排序；張曉、樊治平和陳發(fā)動[4]通過構(gòu)建綜合感知效應最大化模型求解屬性值和自然狀態(tài)概率信息形式為區(qū)間數(shù)的風險型多屬性決策問題。不過，這些研究成果計算過程較為繁瑣，實際應用過程也有一定困難。

在1998年，南斯拉夫的Opricovic[5，6]提出來一種妥協(xié)折衷排序法——VIKOR，并指出VIKOR方法是綜合考慮群體效用值最大化和個體遺憾值最小化，從而使得決策結(jié)果更為合理。隨著VIKOR模型研究的進一步發(fā)展，Sayadi等[7]提出了一種VIKOR拓展變形體解決區(qū)間數(shù)形式信息的決策問題；索瑋嵐和樊治平[8]通過范數(shù)概念對數(shù)值、區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)形式信息進行規(guī)范化處理，應用E-VIKOR方法求解混合型多屬性決策問題；Huang等[9]基于后悔理論提出了一種修正的VIKOR方法，新定義了無選擇效應和不滿效應兩種形式的后悔，簡稱為R-VIKOR方法，驗證了在決策時考慮后悔心理因素的影響，有助于提高決策質(zhì)量；Wu等[10]將語言變量轉(zhuǎn)化為模糊數(shù),通過模糊加權(quán)平均算子對多個決策者的評價指標進行集結(jié)，提出了一種模糊VIKOR模型，用于解決具有語言變量和模糊數(shù)形式信息的大群體決策問題；江文奇[11]將前景理論與VIKOR方法相結(jié)合，解決屬性值為模糊數(shù)形式信息的風險型多屬性決策問題。因此，本文基于后悔理論，考慮決策者的有限行為理性，針對自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)，屬性值為三角模糊數(shù)的風險型多屬性決策問題給出了一種基于后悔理論的VIKOR方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 后悔理論

近年來，后悔理論[12，13]越來越廣泛地應用于決策問題，它是1982年由Bell，Loomes和Sugden提出的一種行為決策理論。該理論認為，人們往往不僅關(guān)心自己可以得到的，而且會將要選擇方案的結(jié)果與其他備選方案可獲得的結(jié)果進行比較。例如：有備選方案集可表示為A=(A1，A2，…，Am)，Aj表示第j個備選方案，aj表示相應備選方案Aj的結(jié)果，備選方案的效用值表示為v=(v(a1)，v(a2)，…，時，選擇方案Aj會感到欣喜，當時，選擇方案Aj則會感到后悔，而選擇Af則結(jié)果反之。因此，基于期望效應理論[14]，決策者的感知效應將會有所變動，會由當前選擇方案的效用值和基于該方案的后悔值和欣喜值三部分組成。例如，方案Aj的感知效用為：

表示方案Aj的欣喜值。在這里R?()是后悔欣喜函數(shù)，它是單調(diào)遞增的凹函數(shù)，滿足

1.2VIKOR模型

Opricovic在1998年提出了一種妥協(xié)折衷排序方法——VIKOR方法，該決策方法分別定義了群體效用值和個體遺憾值，其決策原理如下：

其中ωi為屬性Ci的權(quán)重，x*i和x_

i分別為屬性Ci的正負理想點，定義群體效用值Sj和個體遺憾值Rj分別如下所示：

其中：

上述式子中Nb和Nc分別代表效益型屬性和成本型屬性，依據(jù)式（3）和式（4）得到相應的Sj和Rj，然后依據(jù)下面式子計算評價指標Qj：

1.3 模糊數(shù)

定義1（模糊集）[15]：設X是給定的一個論域，則X上的一個模糊子集A為:

定義2（三角模糊數(shù)）：模糊數(shù)是定義在實數(shù)集R上的凸模糊集，若對于某一模糊數(shù)r?，其隸屬度函數(shù)滿足如下：

定義3[16]：假設為任意兩個三角模糊數(shù)，其基本運算法則如下：

2 基于后悔理論的風險型多屬性VIKOR決策方法

2.1 問題描述

本文研究屬性值為三角模糊數(shù)，屬性權(quán)重已知，自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)形式信息的風險型多屬性決策問題。為了方便起見，記 M=(1,2,3,…,m)，N=(1,2,3,…,n)，T=(1,2,3,…,t)。記備選方案集合為A=(A1,A2,A3,…,Am)，則其中Aj表示第j個備選方案，j∈M；屬性集合為C=(C1,C2,C3,…,Cn)，其中Ci表示第i個屬性，i∈N；屬性的權(quán)重向量為ω=(ω1,ω2,ω3,…,ωn)，其中ωi表示屬性Ci的權(quán)重或重要性，且；自然狀態(tài)集合為W=(W1,W2,W3,…,Wk)，其中Wk表示第k種可能發(fā)生的自然狀態(tài)，表示自然狀態(tài)W發(fā)生的概率，且0≤

k；風險型決策矩陣表示，其中表示在狀態(tài)Wk下方案Aj對于屬性 Ci的結(jié)果，為三角模糊數(shù)，即，滿足此外，對于風險型多屬性決策問題來說，屬性可以分為兩種，即效益型屬性和成本型屬性，下標集合分別表示為Nb和Nc，效益型屬性的屬性值越大越好，反之，成本型的屬性值則越小越好，且滿足

2.2 決策步驟

為了解決上述風險型多屬性決策問題，從有限個備選方案中選擇出最為滿意的方案，具體決策步驟如下：

步驟1：首先應該確定各備選方案對于不同自然狀態(tài)下各屬性的屬性值的正理想點，定義各屬性最滿意的屬性值為正理想點，記作表示如下：

步驟2：為了方便將各屬性值進行比較，利用下述公式可以對決策矩陣進行規(guī)范化處理，能夠消除不同量綱對決策結(jié)果的影響，從而得到規(guī)范化決策矩陣，其規(guī)范化公式表示如下：

在這里，符號“∧”表示最小化算子。

步驟3：然后，基于后悔理論，依據(jù)文獻[13]，方案中各屬性的后悔欣喜函數(shù)可表示為：

其中，δ(δ＞0)為后悔規(guī)避系數(shù)，△b?表示兩個方案的效用值之差，依據(jù)文獻[4]可知決策者對-△b?的感知比△b?更為敏感，且δ越大，決策者的敏感程度越大，因此在決策過程中可以不考慮欣喜值，只計算后悔值。從而得到方案中各屬性的感知屬性值為：

步驟5：在此基礎(chǔ)上計算決策指標Qj值，其計算公式表示如下：

步驟6：對于每個備選方案來說，其Qj值越小越好，但這里為區(qū)間數(shù)，無法直接得到Qj值，需要將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點概率Pk，因此建立如下優(yōu)化模型求解點概率向量 p(p1,p2,…,pt)：

該模型表示求解最小化Q值，用lingo11.0求解此模型，可以得到最優(yōu)點概率向量Pk，然后代入式（18），得到各方案的Q值，將得到的結(jié)果按照升序排列得到最終方案排序結(jié)果，顯然Qj越小，表示方案Aj越好，從而得到最滿意的方案。

表2規(guī)范化決策矩陣

表3后悔感知決策矩陣

3 算例分析

某公司打算開發(fā)一個新產(chǎn)品投入市場，現(xiàn)在有3個備選項目（A1,A2,A3），其中A1表示手機，A2表示平板電腦，A3表示筆記本電腦。考慮的評價屬性有3個（C1,C2,C3），其中C1代表市場占有率，C2代表收益率，C3代表預算成本。C1和C2是效益型屬性，C3是成本型屬性，且屬性值為三角模糊數(shù)。不過，因為市場具有不確定性，未來市場環(huán)境可能有3種情況，記作（W1,W2,W3），其中W1表示市場環(huán)境較好，W2表示市場環(huán)境一般，W3表示市場環(huán)境較差。其各自發(fā)生的概率為區(qū)間數(shù)，分別為p3=[0.15,0 .25]。假設已知各屬性權(quán)重，權(quán)重向量為ωj=(0.3,0.3,0.4)T。風險型多屬性決策矩陣如表1所示，為了選擇更好的開發(fā)項目，按照如上所述方法進行決策。

表1 風險型多屬性決策矩陣

首先，依據(jù)上述式（10）和式（11）對決策矩陣進行規(guī)范化處理，得到如表2所示的規(guī)范化決策矩陣。然后，依據(jù)后悔理論的思想，依據(jù)上述式（13）將規(guī)范化決策矩陣調(diào)整為如表3所示的后悔感知決策矩陣，其中，參數(shù)δ的取值參照文獻[4]，取δ=0.3 。按照式（15）和式（16）分別計算各備選方案在不同屬性和不同自然狀態(tài)下相應的和，并取v=0.5計算值，得到計算結(jié)果如表4所示。

對于該優(yōu)化模型，可以運用lingo11.0優(yōu)化軟件進行求解，計算得到最優(yōu)點概率向量為p*=(0.45,0.4,0.15)，在此基礎(chǔ)上求解出各方案最終的決策指標Q值，得到Q1=0.368;Q2=0.518;Q3=0.5，從而得到方案最終排序結(jié)果：A1?A3?A2。也就是說，按照此決策思路，公司選擇開發(fā)項目A1（手機）較好，需要指出的是，這是取v=0.5得到的方案排序結(jié)果，而v值的選取是決策者事先商量確定的，如果v選取不同數(shù)值，可能將得到不一樣的排序結(jié)果，相關(guān)計算在此不再贅述。

表4 決策指標矩陣

4 結(jié)論

本文運用VIKOR模型對屬性權(quán)重已知，屬性值為三角模糊數(shù)，自然狀態(tài)概率為區(qū)間數(shù)的風險型多屬性決策問題進行求解，考慮到?jīng)Q策者的有限理性，將后悔理論融進模型中，引入決策機制系數(shù)來折衷衡量最大群體效用值和最小個體遺憾值對決策結(jié)果的影響，并構(gòu)建優(yōu)化模型進行求解，從而得到最終的方案排序結(jié)果。首先，相較于傳統(tǒng)VIKOR模型來說，其考慮了后悔心理對決策者感知屬性值的影響，更符合決策者的心理，也更貼近實際情況，得到的決策結(jié)果也更為科學。其次，對于風險型多屬性決策問題，本文給出了一種新的決策方法，思路清晰，計算過程較為簡單，便于應用于實際生活中。