多元方差分析模型的構建與應用

劉曉華

（山東工商學院 統計學院，山東 煙臺 264005）

0 引言

在工農業生產和科學研究中，經常需要對影響某個結果的諸多因素的重要性判斷，例如，研究影響某種農作物單位面積產量的因素，可能有品種、施肥種類以及施肥量等。在這些因素中，哪些因素對產量有顯著影響，這些因素之間是否存在交互作用呢。為此，需要先做試驗，根據試驗的結果進行分析。方差分析是解決此類問題常用的方法。

在數理統計學的教材中，一般都會介紹單因素方差分析和雙因素方差分析，而在實踐中，影響試驗結果的因素往往不止兩個，而是多個以上。對于這樣的問題，應采用多元方差分析。但是查閱相關資料，發現沒有多元方差分析的嚴格數學論證。本文在雙因素方差分析的基礎上，拓展到三因素方差分析，給出了嚴格的數學推導和論證，并用一個實例對模型的使用進行了說明。

1 模型

假定對某試驗的影響因素有三個，分別用A,B,C表示。其中因子A有r個水平，記為A1，A2，…，Ar，因子B有s個水平，記為B1，B2，…，Bs，因子 C 有 t個水平，記為C1，C2，…，Ct，在 (Ai，Bj，Ck)的水平組合下進行m次試驗，試驗結果記為yijkn， 其中i，j，k分別代表因子A，B，C的水平，n代表在此組合下樣本標號。

因為試驗因子較多，無法像雙因子方差分析一樣將兩個因子分別放在行列上，試驗結果一般需要通過諸如表1的表格進行展示，以r=2，s=3,t=2,n=4為例。

為研究方便，假設yijkn獨立服從正態分布N(μijk，σ2)，也即模型滿足正態性，獨立性和等方差性假定。

表1 三因子方差分析數據結構（r=2，s=3,t=2,n=4）

為了研究方便起見，如雙因子方差分析那樣把參數改變一下，令：

其中上述定義中，i=1，2，…，r，j=1，2…，s，k=1，2，…t。

在此基礎上定義各因子的效應和交互效應：

為了研究交互效應是否對結果有顯著影響，在每個組合下至少要m（m≥2）次試驗，試驗結果記為yijkn，則：

這就是有交互作用的三因子方差分析模型，在此模型假定下，需要研究每個因子的影響是否顯著，以及兩個因子的交互作用和三個因子的交互作用是否影響顯著，也就是需要進行如下7個檢驗。

2 模型的方差平方和分解

類似于雙因子方差分析中平方和分解的思想，先進行模型的方差分解，為此引入下面的一些符號：

由式（1）可以得到：

總的偏差平方和可作如下分解：

其中各偏差平方和表達式如下，且由式（1）和式（2）可知：

從上述公式可知，ST反映了試驗結果的總波動，SE反映了誤差的波動，SA,SB和SC除反映誤差的波動外，還分別反映了因子A，B和C主效應的差異，SAB,SAC和SBC除反映誤差的波動外，還分別反映了兩因子A、B，A、C，B、C交互效應差異引起的波動，SABC除反映誤差的波動外，還反映了三因子A、B、C交互效應的波動。

3 模型的檢驗

由數理統計中的cochran定理和假設檢驗相關理論，可以推出各個檢驗需要的統計量如下：

具體計算過程可以列成一張三元方差分析表展示，見表2所示。

表2 三元方差分析表

在給定的顯著水平α下，查F的臨界值便有如下的檢驗結論：

（1）FA≥Fα(r-1，rst(m-1))時，拒絕H0A，認為因素A對試驗結果由顯著影響。

（2）FB≥Fα(s-1，rst(m-1))時，拒絕H0B，認為因素B對試驗結果由顯著影響。

（3）FC≥Fα(t-1，rst(m-1))時，拒絕H0C，認為因素C對試驗結果由顯著影響。

（4）FAB≥Fα((r-1)(s-1)，rst(m-1))時，拒絕H0AB，認為因素A和B存在顯著的交互作用。

（5）FBC≥Fα((s-1)(t-1)，rst(m-1))時，拒絕H0BC，認為因素A和B存在顯著的交互作用。

（6）FAC≥Fα((r-1)(t-1)，rst(m-1))時，拒絕H0AC,認為因素A和C存在顯著的交互作用。

（7）FABC≥Fα((r-1)(s-1)(t-1)，rst(m-1))，拒絕H0ABC,認為因素A，B和C存在顯著的交互作用。

4 模型的適應性檢驗

方差分析的模型假定條件為正態性、獨立性和等方差性。在這個前提下，用方差平方和分解推出了F統計量，并用F檢驗進行判斷因素的重要性，那么模型所用的數據是否滿足這三個假定，還需要通過嚴格的統計檢驗。

在方差分析中，正態性的常用判斷方法有殘差的直方圖和正態概率圖，但是直方圖容易受樣本量的影響，在小樣本時候不穩健。通?？梢詷嬙鞖埐畹恼龖B概率圖，如果潛在的誤差分布是正態的，則圖像呈直線狀。

獨立性的判斷可以依照收集數據的時間順序畫出殘差圖，如果數據沒有明顯的趨勢性，可以認為數據滿足獨立性假定。等方差的判斷可以采用殘差和擬合值的關系圖，如果圖形沒有明顯的模式，認為數據滿足等方差假定。除此之外，還可以采用Barlett檢驗。

5 實例驗證

一臺機器用來把軟飲料糖漿灌注在5加侖的金屬容器內，現在需要判斷由起泡沫引起的糖漿損失量的影響因素，初步認為有三個因子會影響試驗結果：噴嘴設計A、灌注速度B和操作壓強C，選取3種噴嘴、3種灌注速度和3種操作壓強，在每個組合下重復進行兩次試驗，試驗結果見下頁表3所示。

5.1 方差分析

按照上面的三因素方差分析模型對上述數據進行三元方差分析，得到下頁表4所示。

由表4最后兩列F值和臨界值的大小比較可以得到，在0.05的顯著性水平下，灌注速度B，操作壓強C，AB,AC和BC的F值大于臨界值，可以拒絕對應的原假設，也就是說灌注速度B、操作壓強C，AB,AC和BC對試驗結果的影響時顯著的。

5.2 模型適應性分析

由下頁圖1，殘差基本在一條直線附近，可以判斷出數據服從正態分布。由下頁圖2，殘差的試驗順序沒有表現出明顯的趨勢性，可以認為數據滿足獨立性假定。

對模型進行等方差假定，Bartlett檢驗（正態分布），檢驗統計量=11.68,p值=0.166，不拒絕原假設，可以認為數據滿足等方差假定。

5.3 最有組合的確定

進一步的分析表3和根據主效應和交互效應可以得到中等速度，噴嘴類型2或者類型3，低壓強為10或高壓強20對減少糖漿損失是最有效。

表3 糖漿損失數據 （單位：立方厘米）

表4 糖漿損失數據三因素方差分析表

6 結論

圖1殘差的正態概率圖

圖2殘差的試驗順序圖

本文在雙因素方差分析的基礎上，拓展到了三因素方差分析，給出了三因素方差模型的模型假定，推導出了方差平方和的分解，確定了檢驗統計量和檢驗規則，最后用一個實例說明了模型的使用。按照三元方差分析的思路，可以進一步的拓展到多元方差分析，限于本文篇幅，不再贅述。

本文在證明過程中，主要考慮了均衡情形下（每個組合下實驗次數相等）的三因素方差分析，對于非均衡情形下的三因素方差分析，推導證明和均衡情形下類似，只需要在約束條件中需要根據樣本量進行相應改變即可。

本文在推導過程中，沒有進一步的研究在多元方差分析中如何進行多重比較，這是后續可以進一步研究的方向。