波動率期限結構分析及在期權定價交易中的應用

李雪飛 趙冰 嚴高劍

(中信證券股份有限公司，北京 100026)

引言

Black-Scholes模型是期權定價、交易中應用最廣泛的模型。在標的收益率正態分布、波動率為常數等模型前提假設下，將得出同一標的的期權隱含波動率相同且等于常數波動率的結論。然而現實中標的特性并不完全滿足模型假設，導致B-S算法下不同到期日、不同行權價的期權合約隱含波動率不一致即期權隱含波動率是一個曲面。對隱含波動率曲面的估計是期權定價的核心之一。

期權隱含波動率曲面包含不同到期日合約隱含波動率的期限結構，以及相同到期日、不同行權價合約的隱含波動率微笑形態兩個方面。一種對其進行估計的方法是將滿足一定流動性要求、實虛度要求的合約匯總在一起統一進行處理。然而在先前的建模中發現，由于50ETF期權僅有4個月份、時間項的自由度較低，把期限結構和微笑曲面一并建模時會影響估計效果。因此本文中僅考慮隱含波動率期限結構、不考慮波動率微笑方面的影響。

具體的做法上，本文首先考察了50ETF的波動數據，分析不同的50ETF歷史波動率環境下、未來不同期限的實際波動率的分布情況，并將其期望值作為未來給定期限的平值期權合約隱含波動率的一個理論估計；其次，使用50ETF期權數據，計算出不同市場環境下、不同期限的平值合約隱含波動率的實際值，并與理論估計值進行對比；最終，文中構建了一個交易模型，使用各期限的平值跨式組合捕捉前面二者的差異帶來的收益，并進行了實證檢驗。

從2015年2月9日上交所50ETF期權正式上線至今已接近4年，市場中新的股票、商品期權標的逐漸增加，未來新的期權標的品種也將逐步問世。在此背景下，本文通過對期權波動率曲面的分析，對探索期權的定價和價格發現機制、指導實際的期權交易均具備一定的價值。

50ETF期權隱含波動率期限結構的理論解

常數波動率框架下，給定期限的期權合約隱含波動率合理值應該等于該期限中的標的實際波動率。一方面，這是B-S公式可以直接推出的結果；另一方面，不考慮交易及摩擦成本的情況下，隱含波動率不等于實際波動率便可通過期權復制的交易獲得正期望的套利收益。

下圖為一個標的實際波動率30%，一個月到期的平值認沽期權合約隱含波動率恒定為20%的例子。在該假設下，投資者買入認沽期權合約并使用現貨逐日對沖Delta風險，在生成的100000條隨機路徑上的組合最終累計盈虧分布如圖1所示，其中方案一、二為選用了不同的對沖波動率時的結果。從圖中可以看到，不同的對沖方案下累計盈虧的分布會有所差別，但期望收益均為0.0117，均等于所選期權合約的Vega值(0.117)與波動率差值(10%)的乘積。此時，在正期望收益的影響下，統計套利投資者將大量進入市場進入上述交易，買入提升認沽期權的隱含波動率、直至隱含波動率與實際波動率差值降低、套利收益小于成本時達到平衡。

反之，在隱含波動率大幅高于實際波動率時，統計套利交易者同樣會進入市場進入賣出期權和Delta對沖的操作，使實際波動率和隱含波動率的差值收窄。

由上，在恒定波動率的框架下，期權合約隱含波動率合理值應該等于未來該段時間中標的實際波動率。因此，探尋期權隱含波動率期限結構的理論解實際上是要對未來不同區間段的實際波動率進行估計。本文以50ETF過去一段時間的歷史波動率作為條件變量，對“已知過去20日標的實際波動率，未來不同期限實際波動率分布如何？”這一問題加以探討。

圖1 100000條隨機路徑上的組合累計盈虧分布

圖2 2006年2月21日～2018年5月8日，50ETF20日、60日、240日歷史波動率變化圖

圖3 20日歷史波動率對應的20日未來波動率分布

圖2為2006年2月21日～2018年5月8日的50ETF20日、60日、240日歷史波動率變化圖。可以看到，短周期的歷史波動率變化頻率相對較高，長周期的歷史波動率變化頻率相對較低；各期限的歷史波動率均是在一定范圍內上下波動；高波動及低波動的市場環境具有一定的延續性。

本文首先考慮過去20日波動率與未來20日波動率的關系，如圖3，將20日歷史波動率差距在5%以內的樣本點聚在一起，計算其均值及上下浮動一倍標準差的范圍。從中可以看出均值回復的特征：歷史波動率在25～45%的范圍中時，未來波動率均值與歷史波動率高度一致；歷史波動率較低時，未來波動率均值高于歷史波動率；歷史波動率較高時，未來波動率均值低于歷史波動率。

將圖3中的數據按每5%的歷史波動率區間做一個分組，計算轉移概率如表1，其中上升是指波動率增加10%以上(例如，歷史波動率20%，未來波動率超過22%)；下降是指波動率降低10%以上；不變指波動率變化不足10%。從中也可以得到類似前文的均值回復結論。

進一步分析，針對“給定過去20日歷史波動率，不同期限的未來波動率分布如何？”的問題來分析數據。表2中是20日歷史波動率取不同值時，對應的未來20、41、61、122個交易日的波動率的分布情況。從中可以看到，以20日歷史波動率作為條件變量，各周期的未來波動率變化具備均值回復的共性特征，但是邊界位置略有差別。

從前文中可以得到幾個結論：

首先，波動率存在聚集效應：較高的歷史波動率對應的未來波動率平均意義上看也較高，有正相關性。

表1 20日歷史波動率與未來波動率的轉移概率矩陣

表2 20日歷史波動率對應的不同周期未來波動率均值

其次，波動率存在均值回復特性：整體上看，相同時間長度的歷史波動率很低時，未來波動率均值高于歷史波動率；歷史波動率很高時，未來波動率均值低于歷史波動率；歷史波動率大致在20～40%范圍的，未來波動率均值與歷史波動率接近。

第三，20日歷史波動率取不同值時，對應的未來不同期限波動率均值特征：20日歷史波動率低于25%時，未來波動率均值高于20日歷史波動率，且越長期限的未來波動率均值越高；20日歷史波動率在30%以上但未超過40%時，未來波動率均值隨歷史波動率增加而增加，但低于歷史波動率；20日歷史波動率超過40%以后，未來各期限波動率均值均維持在40%附近不再增加。

最后，未來波動率分布標準差與均值的比值：高歷史波動率環境下的比值低于低歷史波動率環境下的比值。與第3條結合可以得出，低波動環境下的波動率上升，不確定性高于高波動環境下的波動率下降；即低波動環境維持的可能高于高波動環境。

接下來考慮使用歷史波動率對未來波動率進行建模，以此作為不同期限的未來波動率即隱含波動率理論解的估計。使用2005年3月23日～2018年1月25日的數據，用回歸的方式，以20日歷史波動率、剩余交易日及相關高階項為自變量，以不同到期期限的未來波動率作為因變量進行逐步回歸，得到的最終參數及方程如表3所示，回歸方程的R^2為0.91。

下面分別為回歸方程的示意圖。圖4中，縱軸為未來的實際波動率，兩個橫軸分別為周期長度及20日歷史波動率值。圖5是回歸方程在歷史波動率軸上的投影，反映了回歸方程中體現的未來波動率和歷史波動率間的關系。

50ETF期權隱含波動率期限結構的實際值

表3 回歸方程的系數及顯著性指標

考察50ETF期權實際的隱含波動率期限結構狀況。隱含波動率是用市場的實際交易價格，按照B-S公式計算得出，體現了市場對期權的定價水平。50ETF期權自2015年2月9日上市，至2018年1月5日的四個月份平值合約隱含波動率分位點如圖6所示。其中，1月IV指最鄰近到期月份的平值合約隱含波動率，4月IV指最遠到期月份的平值合約隱含波動率。

圖4 未來波動率回歸方程的三維示意圖果

圖5 未來波動率回歸方程在歷史波動率上的投影

四個月份的隱含波動率最大值呈現出了越臨近到期合約的最大值越高的特征，最小值則基本相等且基本在2017年5月的同一時間觸及。但刨除掉最大、最小這類極值后，按分位點來看4個月份合約的隱含波動率盡管同樣呈現出越近月合約波動越大的特點，但范圍擴大的并不十分明顯；且主要是靠低波動環境下近月合約隱含波動率下降程度更高來體現、去除極值點后的高波動環境下各月隱含波動率基本一致。

由于四個月份的期權合約剩余到期時間是會隨著時間變化而變化(例如，最近的一個月份，在剛換月時的剩余到期時間為一個月，在臨近到期時剩余到期時間接近于零)，不能直接按1、2、3、4的方式對四個月份的合約隱含波動率進行建模。此外，如果將合約的隱含波動率數據對應到不同的剩余交易日天數上，取點過密會面臨數據量不足的問題。因此，此處先將歷史波動率在一定范圍內，剩余到期時間在一定范圍內的合約隱含波動率進行局部匯總平均，再以局部平均后的數據作為因變量進行建模。

建模的數據使用2015年2月9日～2018年1月5日的50ETF平值期權合約隱含波動率數據，自變量則與前文類似，選用歷史波動率和剩余交易時間及其高階項。通過逐步回歸的方法得出回歸方程如表4，此時回歸系數均顯著，且R^2保持在0.97的高水平。

圖7分別為回歸方程的示意圖。其中縱軸為未來的實際波動率，兩個橫軸分別為周期長度及20日歷史波動率值，圖中的空心點為隱含波動率原始數據對應的點值。可以看到，隱含波動率的期限結構與前文提到的未來波動率期限結構是相像的：低波動率環境下隱含波動率高于歷史波動率，高波動率環境下隱含波動率低于歷史波動率，短期限上的隱含波動率變化范圍高于長期限。

基于波動率期限結構的期權定價、交易機會分析

圖6 四個月份平值合約隱含波動率分位點圖

表4 隱含波動率實際值期限結構回歸方程的系數及顯著性指標

圖7 隱含波動率回歸方程的三維示意圖

一、隱含波動率期限結構理論值、實際值的對比

前文的兩個部分中，別計算了以20日歷史波動率為條件，50ETF期權隱含波動率期限結構的理論值及實際值的回歸方程。本部分中，首先將這兩個方程進行對比，觀察其區別。將兩個回歸方程對應的結果繪制在同一張圖里，如圖8所示。圖中兩個橫軸分別為歷史波動率和剩余交易日，縱軸為對應的隱含波動率理論值或實際值。

考慮到兩個曲面較為接近，為便于觀察，本文計算函數“理論值-實際值”，并將其三維圖畫出如圖9。縱軸函數值大于零的部分說明理論值>實際值，隱含波動率平均意義上偏低；縱軸函數值小于零的部分說明理論值<實際值，隱含波動率平均意義上偏高。

從圖9中可以發現，早2015～2018年的三年市場數據區間上，歷史波動率較低時，隱含波動率平均意義上低估了未來的市場波動水平，這一特點在到期時間較遠的合約上體現的更為明顯；歷史波動率較高時，隱含波動率平均意義上高估了未來的市場波動水平，到期時間較近的合約上體現的更為明顯。

二、利用期限結構差異構建投資組合的實證分析

基于前文事實，可以考慮利用各月份的平值合約構建交易策略，捕捉期權定價偏差產生的收益。具體來說，可以在給定的實際波動率環境下，對未來不同期限的合約隱含波動率理論值進行估計，再將估計值與實際值進行對比，買入低估月份的平值合約、賣出高估月份的平值合約，通過這種方式構建基于隱含波動率實際值與理論值差異的投資組合。

圖8 50ETF期權隱含波動率期限結構理論值、實際值的對比

圖9 50ETF期權隱含波動率期限結構理論值與實際值的差值

表5 隱含波動率理論值回歸方程的系數及顯著性指標

本部分中，為避免使用未來數據，本文使用2005年3月23日～2015年2月6日的數據估計期限結構理論方程并保持方程不變，再將2015年2月9日～2018年4月26日上各交易日時點上的數據代入期限結構方程，計算得到各時點上的隱含波動率期限結構理論值。最后，對比隱含波動率實際值與理論值的差異，構建投資組合。

首先，計算回歸方程。根據前述說明，利用2005年3月23日～2015年2月6日區間上的數據計算得到的回歸方程如表5所示。

接下來，根據上述回歸方程設定組合并進行回測，具體步驟如下：

1.計算各月持倉多空方向

每個交易日，將歷史波動率和合約剩余到期時間代入回歸方程，計算得到四個月份的理論波動率，再將理論波動率和四個月份平值合約的隱含波動率對比，得出四個月份分別的多空信號。

2.計算各月總持倉數量

每個月份的合約均以平值合約建倉，認購及認沽總和不超過60張。持有的具體張數按隱含波動率與理論波動率的差值設定，二者的差異在10%以內時不持倉，差值超過30%時持有設定的最高數量(此處為60張)，差值在10～30%之間時持有數量線性遞增取整。

3.計算各月認購、認沽期權持倉數量

計算出各月份總持倉數量后，分別根據該月份的認購、認沽期權的Delta值，算出使該月總Delta為零的合約張數，并四舍五入取整得到認購、認沽期權合約的持倉數量。

4.計算策略收益

按照每個交易日的信號得出次日的合約持倉，并使用收盤價計算出次日的收益，累計得到策略的最終收益。

圖10是上述策略最終得到的累計收益走勢，其中按“手續費+摩擦成本”為5元、10元、20元三種情況進行了分別測算。

圖10 不同交易成本下的組合累計收益走勢

表6中是組合收益的相關統計數據。其中，收益率部分均按照100萬元的初始資金進行測算(分年份的收益測算中，每年初均按100萬初始資金測算，因此分年度的收益率累積不等于全時間段的總收益率)，事實上在2015年2月9日～2018年4月27日的區間中，組合的平均資金占用僅為8.5萬元，資金占用峰值為88.7萬元，100萬元的初始資金較充分，而且大部分時間中資金處于閑置狀態(此處不考慮閑置資金帶來的利息收入)。

從收益角度來看，組合在2015年的收益較佳，2016年之后隨著市場日漸完善、波動低迷交易機會變少，收益出現下降。考慮到組合平均意義上占用資金較少，閑置資金會對收益率產生不利影響，測算了另一種模式的累計收益率：初始資金改為20萬元，每個交易日中不足部分的資金按照“臨時資金”進行計算、按年化10%的利率和占用時間扣除收益，空閑的資金則按3%的利率計算利息。此時按10元交易成本計算的組合累計凈值及各年度凈值如圖11所示，可以看到此時收益率在逐年下降仍然非常可觀(2015年、2016年、2017年的全年收益率和2018年至4.27的年化收益率分別為157%、61%、29%和24%)。

表6 整體及分年份的若干統計指標

圖11 存在“臨時資金”時的組合累計凈值

主要結論與建議

從2015年2月9日上交所50ETF期權正式上線至今已接近4年，期間市場中新的股票、商品期權標的逐漸增加，未來新的期權標的品種也將逐步問世。在此背景下，了解標的收益特征對期權隱含波動率曲面的影響，對探索期權的定價和價格發現機制、指導實際的期權交易均具備重要的價值。本文以歷史波動率作為條件變量，分析了不同歷史波動率環境下的未來波動率、隱含波動率分布特征，并基于二者的差異進行了交易策略的實證分析，結論如下：

(1)50ETF的實際波動率和50ETF期權隱含波動率均體現出了聚集效應、均值回復等普遍認可的波動率特征；

(2)歷史波動率對未來實際波動率的期限結構和隱含波動率期限結構的擬合效果良好，回歸的R^2分別達到了0.91和0.97；

(3)從過去三年平均意義上來看，實際波動率較低時，隱含波動率低估了未來市場波動水平，期限較遠的合約上體現的更為明顯；實際波動率較高時，隱含波動率高估了未來市場波動水平，到期時間較近的合約上體現的更為明顯；

(4)基于理論波動率和隱含波動率的期限結構差異，可以構建Delta中性的組合捕捉收益。在2015.2～2018.4的時間區間上，如果基于資金峰值加安全墊作為初始資金、不考慮利息收入、按交易成本10元計算則年化收益為13%；

(5)2016年之后，期權市場定價效率明顯提升。受此影響，來源于期限結構的交易策略收益呈逐年下降走勢。但考慮到策略資金占用的峰值遠高于均值，如果在資金占用較多時存在可臨時借用的資金(有方便快速借入的資金，或是組合僅作為多策略中的一部分)，則策略收益在逐年下降后仍然非常可觀。