“以形解數”在小學數學教學中的應用

河南省焦作市解放區實驗學校 劉媛媛

“以形解數”是“數形結合”思想中的一個重要方面，在小學數學的“數與代數”領域中應用較為廣泛。在教學過程中，如果能夠適時地利用直觀的“形”來幫助學生理解抽象的“數”，使抽象問題形象化、復雜問題簡單化，就能夠為學生消除不少學習中的困惑，同時促進學生抽象思維能力的發展。以北師大版小學數學教材為例，依據學生在不同年齡階段接受能力的差別，教師可以在數學教學過程中有目的、有計劃、循序漸進地滲透“以形解數”思想和方法，充分發揮“以形解數”在小學數學教學中的重要作用，提高教育教學質量。

一、啟蒙階段——適時滲透“以形解數”

小學低年級階段是學生認識“以形解數”的初級階段，也是進行“以形解數”教學的重要階段。直觀的“形”無處不在且呈現方式多種多樣，有水果、蔬菜、玩具和文具等各種實物；有小棒、計數器等各種學具；還有數線、點子圖等直觀模型。這些直觀的“形”在幫助學生認識數、比較數的大小、體會有關數學概念、理解有關算理等方面發揮了巨大的作用，同時也促進了學生抽象邏輯思維的發展。教師在這個階段要有意識地把“形”融入數學知識教學中，使學生初步感知“形”的存在。

1.將“形”滲透在數的認識教學中。以數的認識教學為例，教材為學生提供了小棒圖、計數器圖、方塊圖、數線等圖形作為輔助學習的工具，并在教學安排方面做了系統設計。例如：在一年級學習“100以內數的認識”時，以數小棒為主鼓勵學生借助實物認識數，同時以計數器、數線為輔助工具，幫助學生加深對數位、數的大小的理解。在二年級下冊第三單元“生活中的大數”的教學中，教材利用計數器幫助學生體會位值概念和“滿十進一”的道理，借助“方塊”圖這一直觀的“形”幫助學生體會一千有多大：十“個”小正方體組成一“條”表示十；十“條”組成一“片”表示一百；十“片”組成一“塊”表示一千。這樣形象直觀地讓學生感受到了一千有多大，恰到好處地培養了學生的數感。

2.將“形”滲透在數的運算教學中。小學階段數的運算主要是整數、小數和分數的加、減、乘、除以及四則混合運算。在整數的相關運算中，教師教學計算方法多采用點子圖、計數器、數線等形式幫助學生理解算理。例如，在“20以內的加減法”教學中，教材引入了小棒和計數器教學。在進行“100以內加、減法”的教學時，又多次使用了數線這一直觀圖形。由于數線中每一小格代表的數值不同，在表述較大數的加、減運算過程時就會很方便。二年級上冊“長頸鹿與小鳥”一課，在探索如何計算“42÷6”時，教材除了介紹用口訣求商的方法，還呈現了圈點子圖、畫數線圖的思考方法（如下圖）。這樣不僅有利于學生對算理的理解，還有利于溝通除法與減法、除法與乘法之間的內在聯系。

3.將“形”滲透在理解數量關系的教學中。有時候略微復雜的數量關系令學生難以理解，如果能借助于“形”，數量關系一目了然。例如在解決“雞有45只，鴨的只數是雞的5倍，鵝的只數是鴨的2倍，鵝有多少只？”這樣的問題時，就可以引導學生畫出條形圖幫助理解題意，理清三者之間的數量關系。雞是單倍量，畫出一個小長方形表示雞的數量；再畫出表示“鴨是雞的5倍”的長方形；最后畫出表示“鵝是鴨的2倍”的條形圖（如下圖）。這樣借助“形”很輕松地幫助學生理解雞、鴨、鵝之間的倍數關系，列出連乘算式解決問題。

4.將“形”滲透在解決問題教學中。一年級教學中有道習題“在隊伍中從前面數小華排第3，從后面數小華排第4，這條隊伍一共有多少人？”如果只看信息中的數據，學生很容易就列式3＋4＝7（人），這時教師如果引導學生畫圖○○△○○○，用△表示小華，那么問題就化難為易，學生很容易明白多算了一次小華，應該是3＋4－1＝6（人），得出正確答案。分析問題時采用○或△等圖形來代替實物，可以使抽象的代數知識形象化、簡單化，更易于學生理解。

二、形成階段——適時揭示“以形解數”

滲透“以形解數”思想是提高數學教學效果的基礎，隨著年級的逐步深入，學生積累的相關的知識經驗增加了。當“滲透”到一定程度時，教師就可以適時揭示“以形解數”這一思想方法的內涵，使學生對這一思想有初步理解，這是學生理性認識的開始。在數學教學中常常遇到比較典型的數學案例，對于掌握這些知識，不少學生存在著盲區，如果教師幫助學生加以分析，借助“形”來揭示其中的道理，就能使問題迎刃而解。

案例1：在講解小數意義時，將組成小數的每一部分分解成若干個面積圖形。在操作時，讓學生把畫有100個小方格的正方形紙按照10個一條的要求剪成10條（每條表示0.1），再讓學生把其中的1條剪成10個小正方形（每個小正方形表示0.01）。兩人一組開展活動，一個學生說出小數，另一個學生將圖形擺出來；也可以一個學生先將圖形擺出來，讓另一個學生說出小數。這時教師一定要放慢節奏，引導學生學習“形”與“數”相互轉換的方法，感受“以形解數”思想的直觀與便捷。

案例2：在教學整數乘除法的計算方法時，采用以點子圖為主、示意圖為輔的教學模式。以三年級上冊“螞蟻做操”一課為例，這節課主要探索并掌握兩、三位數乘一位數（不進位）的計算方法。在教學時將情景圖中的一只只螞蟻抽象成一個個的點，形成點子圖。借助點子圖這一直觀圖形，幫助學生更好地理解乘法豎式的計算過程和算理。（如圖）

三、應用階段——強化升華“以形解數”

美國心理學家斯金納說過：“行為之所以發生改變，是由于強化的作用。”學生獲取有效的學習離不開強化訓練。當然，強化并不等同于機械性練習。

到了小學高年級，教師有意識地強化應用“以形解數”這一思想方法，啟發學生去思考、發現，找出一般規律之后通過歸納、總結得到認識升華。此時，學生不僅知道用什么“形”去解決問題，還能在此基礎上逐步學會靈活運用。例如一道六年級的典型習題：“一杯橙汁，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，這樣每次都喝了上次剩下的一半，六次一共喝了多少橙汁？”，此題可以直接計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64即為所求,只是計算起來頗為麻煩。這時如果啟發學生先畫一個正方形，假設這個正方形就是一杯橙汁，那么由下圖可知1-1/64即為所求，借助圖形，學生一看即知。

綜上所述，“以形解數”是一種思想方法，想把它真正地納入到學生的認知結構中，需要一個循序漸進的過程。通過采用“滲透———揭示———強化”三部曲的漸進式教學過程，讓學生逐步感知、理解“以形解數”思想，并逐步學會靈活運用“以形解數”思想方法解決實際問題，是我們教育科學研究的目的。