基于分位回歸的偏最小二乘算法的應(yīng)用

程 豪 ，易丹輝

（1.中國科協(xié)創(chuàng)新戰(zhàn)略研究院，北京100012；2.中國人民大學(xué)：a.統(tǒng)計(jì)咨詢研究中心；b.統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100872）

0 引言

原PLS算法在外部估計(jì)和內(nèi)部估計(jì)中，利用線性回歸作為算法核心技術(shù)，完成權(quán)重迭代過程。在利用PLS算法解決二階因子模型參數(shù)估計(jì)問題時(shí)，PLS自帶的無獨(dú)立性假定、無數(shù)據(jù)分布要求、兼顧變量間關(guān)系、所有數(shù)值計(jì)算結(jié)果客觀的優(yōu)點(diǎn)，突破傳統(tǒng)綜合變量構(gòu)建方法的局限。但若樣本存在明確異質(zhì)性，數(shù)據(jù)存在離群點(diǎn)，亦或是研究主題更關(guān)注數(shù)據(jù)全貌而非平均水平，原PLS將面臨瓶頸。此時(shí)，如果考慮將樣本集劃分為幾個(gè)同質(zhì)性的子集，或預(yù)先處理離群點(diǎn)，亦或人為對原始數(shù)據(jù)取分位數(shù)，則會增加冗余處理環(huán)節(jié)，損失可用信息，影響研究結(jié)論。

因此，本文借助分位回歸具備容納異質(zhì)性樣本、不受極端值影響、完備展示數(shù)據(jù)全貌的優(yōu)點(diǎn)，拓展PLS算法的使用范疇，提高參數(shù)估計(jì)能力和診斷能力。

1 基于分位回歸的PLS算法思想

以二階因子模型為例，其表達(dá)形式如式（1）和式（2）：

式（1）為測量模型，它反映可測變量xjh與一階因子ξj間的關(guān)系。λjh是載荷系數(shù)，表示一階因子ξj對可測變量xjh的影響。εjh為第j個(gè)一階因子ξj中第h個(gè)可測變量xjh的測量誤差，均值為0，方差為δ2jh，且與一階因子ξj不相關(guān)。

式（2）為結(jié)構(gòu)模型，它反映的是一階因子ξj與二階因子η間的關(guān)系。βj是路徑系數(shù)，表示二階因子η對一階因子ξj的影響。δj為第j個(gè)一階因子ξj的測量誤差，均值為0，方差為

作為二階因子模型的參數(shù)估計(jì)算法，PLS包括外部估計(jì)、內(nèi)部估計(jì)和（內(nèi)、外部）權(quán)重更新三個(gè)環(huán)節(jié)。其中，權(quán)重更新過程的核心技術(shù)為線性回歸的普通最小二乘估計(jì)算法。基于分位回歸的PLS算法以此為突破點(diǎn)，用分位回歸取代線性回歸，通過設(shè)置多個(gè)嵌套循環(huán)，完成不同分位數(shù)水平下的因子得分和系數(shù)的計(jì)算。算法步驟如下：

步驟1：初始權(quán)重ω0,tau和e0,tau設(shè)定為1；

步驟4：權(quán)重更新；

步驟4-1：設(shè)定分位數(shù)水平τ，設(shè)計(jì)嵌套循環(huán)；

步驟 4-2：可測變量數(shù)m，循環(huán)計(jì)算

步驟5：反復(fù)迭代上述步驟，直到收斂為止。

其中，收斂判斷標(biāo)準(zhǔn)為：（1）最大迭代次數(shù)為200；（2）相鄰兩次的權(quán)重估計(jì)值相差小于10-5。

2 理化指標(biāo)評估中醫(yī)宗氣的模型研發(fā)

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文數(shù)據(jù)來自中國中醫(yī)科學(xué)院中醫(yī)基礎(chǔ)理論研究所、中國廣安門中醫(yī)院的中醫(yī)宗氣評估課題。該數(shù)據(jù)由59例老年組受訪者和10例青年組受試者通過可穿戴式技術(shù)，完成心率、血氧、體溫、呼吸的連續(xù)自我監(jiān)測。連續(xù)監(jiān)測時(shí)間為2013年12月5日0點(diǎn)0時(shí)0分到2013年12月6日23點(diǎn)59分59秒，兩次監(jiān)測時(shí)間間隔為幾秒。

由于受試者具體參與監(jiān)測的起始時(shí)間不同，因此該數(shù)據(jù)具有監(jiān)測次數(shù)不相同、監(jiān)測時(shí)間不齊整的特點(diǎn)。為了攻克這兩點(diǎn)局限，避免受到監(jiān)測過程中可能出現(xiàn)的異常或錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的干擾，保留時(shí)間因素的影響，本文提出一種數(shù)據(jù)處理思路。將數(shù)據(jù)分為上午、下午和傍晚三個(gè)時(shí)間段，分別通過不同維度反映心率、血氧、體溫、呼吸水平，比如用中位數(shù)刻畫總體水平，最小值和95%分位數(shù)刻畫極值水平，其中95%分位數(shù)取代最大值。變異水平由四分位數(shù)差刻畫，即由75%分位數(shù)和25%分位數(shù)之差刻畫對應(yīng)指標(biāo)的變異水平。

2.2 中醫(yī)宗氣模型設(shè)計(jì)

中醫(yī)宗氣是由水谷精微化生，聚積胸中，與呼吸之氣相合發(fā)揮作用的氣。宗氣聚于兩乳之間的膻中。走息道而行呼吸，凡語言、聲音、嗅味、呼吸皆與宗氣有關(guān)。同時(shí)還有維持氣血運(yùn)行、維持心臟運(yùn)動、維持肢體體溫與活動能力的作用。經(jīng)過研究，通過可穿戴式技術(shù)、受試者自測獲得的理化指標(biāo)，則從心率、血氧、體溫、呼吸四個(gè)方面完成對中醫(yī)宗氣模型的設(shè)計(jì)。圖1是經(jīng)過可測變量篩選后的結(jié)果，當(dāng)用這些可測變量時(shí)，可測變量與一階因子間系數(shù)（載荷系數(shù)）較為顯著且符合醫(yī)學(xué)常識。為了方便后續(xù)表述，表1給出模型中涉及變量及符號說明。

圖1 理化指標(biāo)評估中醫(yī)宗氣模型

表1 中醫(yī)宗氣模型的變量對應(yīng)表

3 基于分位回歸的PLS算法識別中醫(yī)宗氣模型

與原PLS相同，基于分位回歸的PLS算法包括可測變量與一階因子、一階因子與二階因子間相關(guān)系數(shù)的計(jì)算部分，通過相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及符號的判斷，確定每一步迭代中的一階因子和二階因子的外部估計(jì)。經(jīng)過不斷的內(nèi)部調(diào)整和外部調(diào)整，更新內(nèi)生權(quán)重和外生權(quán)重，反復(fù)迭代，得到收斂的數(shù)值計(jì)算結(jié)果（路徑系數(shù)、載荷系數(shù)和因子得分）。作為重要的數(shù)值計(jì)算結(jié)果之一，路徑系數(shù)明確量化相應(yīng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部二階因子與一階因子間的關(guān)系，突顯結(jié)構(gòu)關(guān)系的全貌。通過不同階因子的排列和單向箭頭的連接，圖2展示了原PLS算法和基于分位回歸的PLS算法對中醫(yī)宗氣模型的路徑系數(shù)估計(jì)結(jié)果。

圖2 中醫(yī)宗氣模型路徑圖

基于分位回歸的PLS估計(jì)所得路徑系數(shù)在一定程度上并沒有違背原PLS揭示的規(guī)律。（1）路徑系數(shù)的正負(fù)揭示了不同模型中二階因子宗氣與一階因子間關(guān)系的正（負(fù)）向性。基于分位回歸的PLS算法依然反映二階因子宗氣與一階因子心率、體溫和呼吸存在正向關(guān)系，與一階因子血氧存在負(fù)向關(guān)系，說明除血氧對宗氣評估的效應(yīng)為負(fù)外，其余一階因子對宗氣評估的效應(yīng)均表現(xiàn)為正向。（2）路徑系數(shù)的大小刻畫一階因子與二階因子間不同程度的數(shù)量關(guān)系。所有估計(jì)結(jié)果中，心率的路徑系數(shù)基本均為最大，呼吸次之，體溫次之，血氧的路徑系數(shù)為負(fù)。

不同的是，基于分位回歸的算法展示不同分位數(shù)下路徑系數(shù)的估計(jì)結(jié)果，反映數(shù)據(jù)信息全貌。（1）從低分位數(shù)到高分位數(shù)，血氧（從-0.84到-0.44）和呼吸（從0.73到1.03）的絕對路徑系數(shù)逐漸增加。（2）當(dāng)分位數(shù)為0.10時(shí)，體溫的路徑系數(shù)（0.02）達(dá)到最小。說明低分位數(shù)時(shí)體溫對宗氣評估方面及在判斷受試者是否宗氣不足方面的貢獻(xiàn)最小。（3）當(dāng)分位數(shù)為0.75時(shí)，呼吸的路徑系數(shù)（0.95）出現(xiàn)大于心率（0.92）的情況。說明下四分位數(shù)時(shí)呼吸對宗氣評估方面具有最為重要的作用，在判斷受試者是否宗氣不足方面的貢獻(xiàn)最大。由此可推知，在宗氣評估方面，心肺功能（心率和呼吸）起著至關(guān)重要的作用，最能反映受試者宗氣足與不足的表征規(guī)律。表2（見下頁）從中醫(yī)宗氣模型中的載荷系數(shù)進(jìn)一步揭示不同分位數(shù)下變量間結(jié)構(gòu)關(guān)系全貌。

4 結(jié)論與評價(jià)

作為一種參數(shù)估計(jì)方法，基于分位回歸的PLS算法，在保留原PLS突破強(qiáng)獨(dú)立性假定、無數(shù)據(jù)分布要求、主觀賦權(quán)等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，不必考慮數(shù)據(jù)是否具有異質(zhì)性，是否存在異常點(diǎn)的問題。在兼顧變量間的相關(guān)關(guān)系的前提下，反映不同分位點(diǎn)下的數(shù)據(jù)全貌和結(jié)構(gòu)關(guān)系，完整詮釋所評估主題的多層次內(nèi)涵。作為一種新的分析工具，基于分位回歸的PLS算法為用理化指標(biāo)評估中醫(yī)宗氣提供可能。至此，受試者可以通過可穿戴式檢測儀器、由民眾自主測量的模式，評估一部分中醫(yī)疑難雜癥。在減輕大夫診治負(fù)擔(dān)的同時(shí)，也節(jié)約了醫(yī)療資源，提高了醫(yī)學(xué)研究效率。這種操作上的便捷性，實(shí)現(xiàn)正常民眾的提前檢測和患者的定期檢測，可以隨時(shí)跟蹤自身的健康狀況和變化趨勢，起到疾病預(yù)防和警示的作用。

表2 中醫(yī)宗氣模型的載荷系數(shù)

但是，并不是所有適用于原PLS估計(jì)的數(shù)據(jù)均可以用基于分位回歸的PLS算法來解決。當(dāng)數(shù)據(jù)為分類或等級數(shù)據(jù)時(shí)，基于分位回歸的PLS算法可能出現(xiàn)無法識別的問題。經(jīng)嘗試，當(dāng)變量為1～5的量表數(shù)據(jù)時(shí)，該算法無法識別低分位（分位數(shù)小于0.3）模型的參數(shù)估計(jì)。基于分位回歸的PLS算法對數(shù)據(jù)類型的要求，是分位回歸帶來的不可避免的方法局限。