基于“灰度不減”公理的改進區間灰數預測模型

李 翀，謝秀萍

（福州大學 經濟與管理學院，福州 350116）

0 引言

灰色系統理論的研究對象之一是灰色預測模型，其中，GM(1，1)模型又是灰色預測理論的基礎模型。目前關于GM(1，1)模型的研究主要是從模型的性質以及適用范圍[1,2]，背景值構建[3,4]；初始值選擇[5,6]；與其他算法的組合[7,8]；引入時間項[9,10]；建模序列的優化[11,12]；模型求解[13]等。GM系列模型是以確定數據為建模序列，無法直接對含有不確定數據的序列進行有效建模。隨著信息復雜性的增長，具有不確定特征的序列已隨處可見，這類的數據序列進行建模已引起眾多學者的關注。根據建模序列數據類型可以分為兩種：區間灰數序列預測[14-17]和灰色異構數據序列預測[17,18]。其中區間灰數序列建模方法主要有：（1）基于序列的幾何特征[14,15]；（2）基于序列的表征信息[16,17]；（3）組合模型[17,18]等。目前，無論是區間灰數序列還是異構數據序列預測模型，主要思想是將灰數轉化為實數構建預測模型，再還原為區間灰數。對于灰度波動較大的區間灰數序列，此類模型不僅對灰度變化較大的區間灰數擬合精度低，并且不能反映灰數灰度的未來的發展趨勢。

對于區間灰數序列，本文將分析在核和“灰度不減”公理下構建的傳統預測模型的誤差情況。重新構造兩組能夠反映上、下界變化特征的核序列，分別構建DGM(1，1)模型；根據將兩組預測值與傳統預測模型結合；最后推導得到新的區間灰數預測模型，并用算例驗證了模型的可行性。

1 基本概念

定義1[19]：既有下限a(k)又有上限b(k)的灰數稱為區間

定義2[19]：區間灰數?(k)的取值范圍稱為測度或信息域，記做u(k)=b(k)-a(k)。

定 義 3[19]：存 在 區 間 灰 數 ?(k)∈[a(k)，b(k)],則 稱灰數，記為為灰數?(k)的核；

公理1[19]：（灰度不減公理）兩個灰度不同的灰數進行和、差、積、商運算時，運算結果的灰度不小于灰度較大的灰數，為計算方便，通常可將運算結果的灰度取為灰度較大的灰數的灰度。

推論1[19]：兩個信息域不同的區間灰數進行和、差、積、商運算時,運算結果的信息域不小于信息域較大的區間灰數的信息域。

設存在區間灰數序列X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)} ，其中 ?(k)∈[a(k)，b(k)]，根據定義1和定義2，由每個灰元的“核”和“測度”分別構成X(?)的核序列X0(?0)和測度序列UX，記作：

2 基于“灰度不減”公理的區間灰數預測模型

2.1 基于“灰度不減”公理的區間灰數預測模型建模原理

設 有 區 間 灰 數X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)},?(k)其核序列和測度序列分別為：

對核序列X0(?0)構建預測模型得到擬合序列

根據定義2和定義3，建立方程組：

解方程組得：

稱（1）為區間灰數序列X(?)的傳統預測模型。

2.2 傳統預測模型誤差分析

由公式（1）可知，序列X(?)的上、下限預測值分別為：

（1）當核預測值不存在誤差時。假設?0(k+1)=?0即將模型誤差都轉移到測度預測誤差上，則式（1）可調整為：

則區間灰數下、上限誤差值分別為：

由公式（2）、公式（3）可知，當核預測值不存在誤差時，區間灰數的上、下限誤差值存在關系ε1(k+1)+ε2(k+1)=0，且ε1(k+1)≥0，ε2(k+1)≤0

（2）當測度預測值不存在誤差時，假設預測誤差都轉移到核預測上，即其中即將測度預測值的誤差都轉移到核預測誤差上，則式（1）可調整為：

此時，區間灰數下、上限誤差值相等，為：

綜合公式（2）至公式（4）可得傳統區間灰數預測模型的下、上限的誤差分別為：

下、上限的平均誤差為：

3 基于“灰度不減”公理改進的區間灰數預測模型

3.1 基于“灰度不減”公理改進的區間灰數預測模型構建

上限預測誤差為ε2(k+1)=0

證畢。

由命題1可知對于傳統區間灰數預測模型，當對上、限分別取核預測值分別為和時，區間灰數預測誤差為0。當定義上、下限的核序列分別為時，可以提高模型預測精度。

為GM(1，1)模型的離散形式，簡稱DGM(1,1)模型；其中

累減還原式為：

由式（9）和式（10）可得到序列

=[ρ，ρ]T，其中：

將上、下限核預測值分別帶入公式（1）的上、下限預測模型，得到新的區間灰數預測模型為：

稱式（13）為改進的區間灰數預測模型。

3.2 基于“灰度不減”公理改進的區間灰數預測模型建模步驟

基于傳統區間灰數預測模型改進的區間灰數預測模型具體建模步驟為：

（1）由定義2得到序列X(?)的測度序列，得到最大測度值；

（2）由定義4分別確定序列X(?)的下、上限核序列；

（3）分別構建上、下限核序列的預測模型；

（4）將上、下限核序列的預測帶入公式（1）。

3.3 基于“灰度不減”公理改進的區間灰數預測模型性質分析

（1）模型的適用范圍

本文所研究的預測模型，通過對上、下限取不同的核序列，并分別建立DGM(1，1)模型，再結合“灰度不減公理”確定上、下限預測值。因此，模型的適用范圍主要取決于DGM(1，1)模型的適用范圍。

（2）模型預測值測度分析：

對于模型（13），其預測值的測度為：

與傳統區間灰數預測模型想比，其預測區間的測度隨著區間灰數上下限的變化而變化，對于測度變化較大的區間灰數序列預測具有較好的適應性。

（3）預測值誤差分析

4 算例分析

為了便于建模精度比較，將文獻[20]的算例和建模方法與傳統區間灰數建模方法及本文構建的區間灰數序列的預測模型的擬合結果進行比較，以驗證新模型的有效性。

表1 X(?)中的區間灰數

根據本文建模過程構建表1中序列X(?)的預測模型，具體步驟如下：

（1）計算序列X(?)的測度最大值

由定義2得到區間灰數序列X(?)的測度序列為測度最大值為測隊最小值為測度極值之差為顯然區間灰數序列X(?)的測度變化較大。

（2）構造上、下限核序列

（3）構造上、下限核序列的預測模型

對上、下限核序列建立DGM(1，1)模型，可得：

（4）區間灰數預測模型構建

由式（13）可得：

根據上式得到列X(?)的預測值，并與公式（1）的計算結果進行比較，如下頁表2所示。

表2 模擬結果比較

由表2可知，本文構建模型的平均相對誤差為1.61%，遠小于傳統方法，同時也小于文獻[20]方法的平均相對誤差，也就是本文模型有良好的預測精度。由表3對比三種方法得到的預測值的測度發現，公式（1）得到的測度預測值是保持不變的，而其他兩種方法的測度具有時變性。綜合考慮擬合值的預測誤差和測度的時變性，本文方法具有較好的擬合和預測效果。

表3 預測值測度比較

5 結論

基于核和“灰度不減”公理構建的區間灰數預測模型，對于灰度或測度波動大的序列擬合效果不好，且無法預測序列測度的發展趨勢。本文首先分析了傳統區間灰數預測模型的上、下限預測值的誤差組成，為提高區間灰數上下限的擬合精度，在原模型基礎上，分別構造新的上、下限核序列；然后分別建立上、下限核序列預測模型；最后將上、下限核序列預測值帶入傳統預測模型中，推導得到新的預測模型。新的預測模型不僅遵循了“灰度不減”公理，同時通過對上、下限取不同的核預測值提高了模型的擬合精度。實現對測度波動較大序列的有效擬合，同時考慮序列的動態發展，使測度具有時變性，從而擴大了模型的應用范圍。