例說逆向思維在極限問題中的應用

魏 君 李立明

（吉林大學公共數學教學與研究中心，吉林 長春 130012）

微積分學是以極限為工具研究函數的各種性態的一門學科，極限概念是整個微積分學的基礎。正確理解極限的概念，熟練掌握極限的性質與運算方法,有助于學生學好高等數學課程，并為后續相關課程打好數學基礎。極限的概念過于抽象，理論性強,極限的運算方法多種多樣，技巧性強，在高等數學教學中既是教學重點也是教學難點。在極限問題中利用逆向思維，從已有思路的相反方向去思考問題，往往能達到事半功倍的效果。

逆向思維在高等數學的教學中非常重要，應用中的反證法、分析法、舉反例、公式定理的逆用等等都能反映出逆向思維。對于一些極限問題，從結論往回推，從求解回到已知條件，倒過來尋求解題方法，也許能幫助我們更深刻的理解極限概念，更簡單的解決極限的運算問題。

下面的例子也都是利用逆向思維求解的極限運算問題。

分析本題要根據一個已知條件求解兩個未知數，因此需要根據題中的已知極限獲得關于未知數的兩個方程。而題中的極限可通分為，利用逆向思維思考，在x→∞的過程中其分母是∞，那么只有在分子極限為常數時才能使得整個極限等于0。

（A）f（x）不可導；

（B）f（x）可導，且f'（0）≠0；

（C）f'（0）=0，且在原點某鄰域內f'（x）≥0；

（D）f'（0）=0，且在原點某鄰域內f'（x）≤0。

分析這是一道選擇題,從選項入手，本題的選項都與函數（fx）在x=0的導數有關，由導數定義，而，因此本題只需求解極限，把它和題中的已知條件相比，可知本題的關鍵在于求解函數值f（0）。利用逆向思維思考，在x→0的過程中已知極限的分母是零因子，那么分子必然也是零因子才能使得整個極限等于2，因此有，再根據題設中 （fx）在原點附近的連續性，有，從而得到f'（0）=0。另一方面，由極限的保號性可知在原點某鄰域內f（x）≥0，因此本題應選C。

本題中獲得函數值f（0）的方法非常常見。利用逆向思維方法，如果一個分式的極限是常數，而分母中含有零因子，那么分子也一定含有零因子。

分析本題所求的是無窮個無窮小的和，因此不能直接利用極限的四則運算法則求解;要想用夾擠定理，需要放縮后找到極限相同的兩個數列，也很難做到，如果利用逆向思維，考慮定積分的本質就是特定形式的和的極限，不妨把題中數列的和整理為定積分形式的和，從而利用”N-L公式”求出極限的值。

分析本題是既有指數運算又帶有階乘的數列求極限，直接放縮需要一定的技巧。考慮到本題中的數列恒為正，如果利用逆向思維，正項級數的一般項趨于零，不妨以題設數列構造正項級數，利用比值法獲得級數的收斂性，從而得出原極限等于零。而比值法中的是很容易處理含有指數運算和階乘的項的。

下面給出本題的直接解法。

直接解法需要對既有指數運算又帶有階乘的一般項進行放縮，如果是更復雜的數列，例如就會很困難了。而上述利用逆向思維構造正項級數的方法，處理起來依然十分方便。

極限運算復雜多變，在解題過程中如果能恰當的運用逆向思維，則可以起到化繁為簡,事半功倍的作用。因此在日常教學中注意對學生滲透這一思維方法，可以幫助學生提高解題能力和數學素養，進而提高學生研究性學習的能力，為社會培養高層次人才。