階梯圓環盤橫向彎曲振動特性研究??

肖龍勇 祝錫晶 馬傳杰 丁 磊

(中北大學山西省先進制造技術重點實驗室，山西太原030051)

超聲振動加工是在工具或者工件的某一特定的方向施以超聲頻機械振動來進行加工的一種先進加工方法。超聲振動珩磨加工方法是超聲振動加工技術在珩磨中的運用。超聲振動珩磨相比于普通珩磨具有珩磨力小、加工溫度低、油石不容易堵塞、加工質量和加工精度高等諸多長處，該加工方法對零部件的精密加工有著非常重大的意義[1]。由換能器、變幅桿、彎曲振動圓盤、撓性桿-油石座與工具振動系統構成的聲振系統是超聲振動珩磨設備的核心，其中彎曲振動圓盤的作用是將縱向振動轉化為橫向彎曲振動，傳遞給撓性桿，該零件設計的優劣，直接影響到變幅桿的振動可否經過它傳遞給撓性桿-油石座和工具構成的振子系統[2]，所以分析彎曲振動盤的固有頻率和動力學特性對超聲珩磨振動系統的設計和優化非常重要。超聲振動珩磨加工中，為了讓彎曲振動圓盤、撓性桿-油石座和工具構成的振子系統能夠有優異的振動效果，以達到最佳的加工質量，彎曲振動圓盤必須要作零節徑的軸對稱橫向彎曲振動[3]。一般可將彎曲振動圓盤簡化成階梯圓環盤結構，根據環盤厚h徑d比大小分為薄環盤(一般厚徑比h/d≤1/10)和厚環盤。其中厚環盤又分為中厚環盤和強厚環盤。中厚板理論最早由Mindlin提出，它是在Kirchhoff薄板理論的基礎上考慮了一階剪切變形，其適用范圍為厚徑比h/d≤1/2.5～1/2，該理論兼容薄板理論[4]。彎曲振動圓盤的厚徑比基本都在Mindlin理論的適用范圍內，可以用該理論對其進行求解。

學者們對圓板和圓環板的動力學分析作了大量研究。Hosseini-Hashemi等[5-6]對密度均勻變化的功能梯度階梯圓盤板與圓環板的自由振動解析解作了研究。潘曉娟等[7]根據Mindlin理論，推導出了厚圓盤彎曲振動的橫向和徑向位移模型，并得出了邊界分別為固定、簡支和自由狀態時厚圓盤的頻率方程，理論求解結果與有限元分析結果基本吻合。李向鵬等[8]利用Mindlin理論建立了中厚圓環板結構在自由邊界狀態時的橫向彎曲振動的頻率方程模型，并將計算結果與有限元和模態試驗作了對比，驗證了模型的正確性。張寧寧[9-10]等基于Mindlin理論分別建立了厚圓環和階梯圓盤在不同邊界時的頻率方程模型，并將計算結果與有限元和試驗結果進行了對比，得出理論的正確性。上述研究針對的是圓盤和圓環板的振動特性。本文以階梯圓環盤結構為研究對象，基于Mindlin理論，建立了階梯圓環盤的橫向彎曲振動頻率方程，編寫了頻率方程的Matlab求解程序，并對計算結果與有限元結果進行了對照，求解精度高，表明了模型正確性，為彎曲振動圓盤的理論設計提供了參考。

1 階梯圓環盤橫向彎曲振動數學模型

彎曲振動圓盤的結構可視為階梯圓環盤結構，以環盤中性面z=0處為原點建立柱坐標系，環盤的上下表面分別為z=±h2/2，圖1所示為彎曲振動圓盤模型及其在(r，z，θ)柱坐標系中的表示。其中:d1為階梯圓環盤中心孔直徑；d2為階梯圓環盤階梯處直徑；d3為階梯圓環盤底座直徑；h1為階梯圓環盤底座厚度；h2為階梯圓環盤總厚度。

由Mindlin中厚板理論可知，圓板在柱坐標系中作橫向振動的振型基本方程為[4]:

方程(1)的一般解可寫成:

經過簡化，階梯圓環盤的振型表達式變成:

由于階梯圓環盤作軸對稱的橫向彎曲振動，所以繞軸的形變為零。因此式(3)中的φθ恒等于零，可以忽略。

若不考慮盤的擠壓變形，其內力表達式可以表示成:

式中:Mr與Mrθ為彎矩；Qr為剪力。 同理，由于階梯圓環盤作軸對稱的橫向彎曲振動，Mrθ恒等于零，可以忽略其影響。將式(2)分別代入到式(3)與式(4)中，可以得到階梯圓環盤作橫向彎曲振動時的振型表達式與內力表達式。

圖1所示的階梯圓環盤可以看成是由內徑d1、外徑d2、厚度h2的內圓環盤 A 與內徑d2、外徑d3、厚度h1的外圓環盤B兩部分組成的。A與B在直徑d2處的位移與力應是連續的，即A與B在直徑d2處的位移、轉角、彎矩與剪力應對應相等，所以內圓環A與外圓環B在直徑d2處有如下連續性方程:

在設計過程中，可以將彎曲振動圓盤看成內外邊界處于自由狀態，即階梯圓環盤的邊界條件為內外自由，此時有如下邊界條件:

將式(3)與式(4)代入到式(5)和式(6)中，經整理后，可以獲得階梯圓環盤橫向彎曲振動的頻率方程:

式中:[K]為階梯圓環盤的剛度矩陣，{δ}為階梯圓環盤的振型向量。

因為待定系數中含有角頻率ω，即待定系數不全為零，所以頻率方程有非零解的必要充分條件為剛度矩陣的行列式K=0。采用數值解法，以特定的步距在圓頻率ω的給定區間內搜索求解，當ω的值可以使K=0，則此時的ω即為頻率方程的數值解，以此類推，便可以求解出在給定區間內的所有數值解。

如果已知階梯圓環盤的圓頻率ω，階梯圓環盤只有某一尺寸為未知，也可以以特定的步距在給定的區間內搜索求解該尺寸，當尺寸值能使K=0，則此時的尺寸值就是所要求解的數值解。

2 計算實例與有限元驗證

以圖1所示階梯圓環盤結構為例，任意設定一組參數值，通過理論計算與有限元仿真來驗證理論計算的正確性。 設d1=10 mm，d2=40 mm，d3=100 mm，h1=10 mm，h2=12 mm。階梯圓環盤的材料選為45號鋼，密度ρ=7 810 kg/m3，彈性模量E=209 GPa，泊松比v=0.29。利用Matlab編寫求解程序對式(7)進行數值求解，以頻率f為變量，頻率搜索區間取為0～70 kHz，行列式K的值隨頻率f值的不同而變化，當f的取值能使K=0，則此f便是頻率方程的解，如圖2所示。經計算可得該階梯圓環盤的前三階零節徑軸對稱橫向彎曲振動的頻率依次為:8 895 Hz、31 845 Hz、62 095 Hz。

表1 計算值和有限元(FEM)結果比較

為了驗證理論求解是否正確，對階梯圓環盤進行有限元分析。在SolidWorks2017中創建三維模型導進AnsysWorkbench19.0中，經求解得出階梯圓環盤作軸對稱彎曲振動的前三階振型對應的頻率(如圖3)依次為:8 865.8 Hz、31 725 Hz、62 077 Hz。 從表 1 的理論計算值與模態仿真值的對比中，可以發現理論模型的正確性。

3 理論求解的精度分析

雖然Mindlin理論放棄了薄板理論的三個主要假設，但是它自身也是對三維理論的一種簡化，只是相對于薄板理論，它考慮的因素更多，因此它的求解精度要比薄板理論高，適用范圍要比薄板理論廣[11]。Mindlin理論是在Kirchhoff薄板理論的基礎上考慮了一階剪切變形的影響，其運用范圍為厚徑比h/d≤1/2.5～1/2，該理論完全兼容薄板理論。上述計算實例中，如果其他尺寸保持固定，僅改變盤的厚度h2的數值，其一階零節徑軸對稱彎曲振動的理論計算頻率值與有限元模態分析結果見表2。

表2 計算值與有限元(FEM)結果隨h2的變化的比較

從表2不難看出，在別的尺寸保持固定的情況下，隨著階梯圓環盤厚度h2逐漸變大，理論計算結果與有限元結果的偏差不斷加大，在h2/d3=1/2.5時，偏差已到達25.1%，遠遠超出所能接受的誤差范圍。究其原因在于階梯圓環盤的特殊結構，階梯圓環盤結構的理論計算精度不僅受其厚徑比(h2/d3)的影響，也與其總厚度h2與底座厚度h1之差有很大的關系。保持其總厚度h2與底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)固定，此時計算結果與有限元結果隨h1、h2的變化情況如表3所示。

表3 計算結果和有限元結果變化情況(h2-h1=2 mm)

從表3看出，在階梯圓環盤總厚度h2與底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)一定的情況下，不斷增大總厚度h2的數值，階梯圓環盤一階零節徑軸對稱彎曲振動頻率的計算結果與有限元結果的偏差呈現微弱增大趨勢，當h2/d3=0.52時，偏差也只有1.09%，在容許的誤差范圍內，可以看出理論求解精度很高。彎曲振動圓盤的厚徑比一般都在1/2以內，即h/d≤1/2，在Mindlin板理論的適用范圍之內(厚徑比小于等于1/2)，因此利用Mindlin板理論對彎曲振動圓盤進行理論設計具有很高的精度。

4 結語

(1)超聲諧振系統是超聲珩磨設備的核心，而彎曲振動圓盤則是超聲珩磨諧振系統中的核心部件。彎曲振動圓盤可視為階梯圓環盤結構，利用Mindlin中厚板理論，根據階梯圓環盤的位移、轉角、彎矩和剪力的連續性條件和邊界條件，建立了階梯圓環盤的橫向彎曲振動模型，推導了其頻率方程。總厚度h2和底座厚度h1相等時，此時在d2處的連續性條件便可以不考慮了，方程(5)舍去，此時階梯圓環盤變成普通圓環盤結構，頻率方程(7)變為普通圓環盤的頻率方程。

(2)利用Matlab編寫了頻率方程的求解程序，通過理論求解與有限元模態分析的對比，理論求解精度很高，驗證了理論模型的正確性。

(3)彎曲振動圓盤零節徑軸對稱彎曲振動頻率的求解精度不僅受其厚徑比(h2/d3)的影響，也與其總厚度h2與底座厚度h1之差有很大的關系，在總厚度h2和底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)一定時，隨著h1、h2的增大，理論計算結果與有限元結果的偏差呈現微弱增大趨勢，當厚徑比h2/d3=0.52時，偏差也僅有1.09%，表明理論計算的精度很高，為彎曲振動圓盤的設計指明了理論方向。