基于機床運動學模型的加工面形誤差影響因素??

王鵬飛 王建鋒 王晉鵬 李 勇 劉守法

(①西京學院機械工程學院，陜西西安710123；②西北工業大學陜西省機電傳動與控制工程試驗室，陜西西安710072；③寶雞機床集團有限公司，陜西寶雞721013)

幾何誤差是導致機床加工誤差的主要因素之一，顯著影響著機加工質量[1]。高精度是現代制造業的基本要求之一，如何在多軸機床的設計、制造、裝配階段，甚至日常操作和維護階段減小或消除幾何誤差成為一個關鍵問題[2-3]。因成本及技術因素限制，難以補償所有的幾何誤差，只能對加工精度影響較大的幾何誤差進行控制和補償。如何評估單個誤差元對機床加工精度的影響成為一個關鍵問題[4]。

多年來，許多科研人員對機床的誤差模型進行了深入研究。 常見的是利用 HTM[5，6]、D-H[7]、MD-H[8]或MBS[9]理論建立誤差模型來研究刀具位置和方位誤差。文獻[10]通過建立包含刀具位姿誤差和所有誤差參數的誤差模型，利用靈敏度分析方法研究了機床誤差和工件誤差間的關系。文獻[11-12]利用偏微分法推導了機床固定位置的運動學正解模型，只能對少量點位或刀具路徑進行研究，這種方法不能夠完全評估工作空間中的所有幾何誤差間的關系。文獻[13]提出了一種基于機床體誤差模型的頻域多尺度面形誤差預測方法，通過構建機床誤差元與加工面形誤差間的直接關系進行了面形誤差的預測研究。文獻[14]提出一種基于三維矢量鏈的機床空間誤差模型，并利用單元誤差的作用規律研究了誤差累積的規律及計算方法。

鮮有文獻針對機構的組裝誤差進行探討，本研究推導了5-DOF串并聯機床的逆解誤差運動模型和正解誤差運動模型，并預估了機床的各位置誤差項和角度誤差項，通過Matlab軟件進行編程并代入預估值，研究了機床的各誤差項對加工面形誤差的影響，為后期研究誤差補償打下基礎。

1 串并聯機床及其誤差參數

串并聯機床結構如圖1所示，由三自由度的并聯機構搭載旋轉軸A和轉臺C軸形成五自由度串并聯機床。該機床機構參數定義如圖1和圖2所示，三組絲杠螺母中心至基座坐標原點的垂直距離定義為SA、SB和SC，三組滾珠絲杠軸線至機架中心距離均為R，刀座平臺幾何中心與水平轉軸A軸的垂直距離為ht；A軸至刀具末端垂直距離為t，刀具可繞A軸旋轉角度α為0～90°，旋轉平臺可繞C軸旋轉角度γ為0～360°；hs為絲杠軸線至虎克鉸中心的垂直距離，LA、LB和LC分別為立柱A、B和C上3個連桿的長度，rOR為基座坐標原點至的轉臺坐標原點間距離，rRW表示轉臺坐標原點至工件坐標原點間的距離。

圖3所示為立柱A各誤差項定義示意圖，絲杠滑塊(Slide)X和Y向的定位誤差為ΔXAS和ΔYAS，絲杠滑塊的X、Y和Z向的角度誤差分別為 ΔΓAS、ΔΨAS和ΔφAS，虎克鉸 (U-J) 定位誤差為 ΔXAUJ和 ΔZAUJ，虎克鉸角度誤差為ΔΓAUJ，刀座(T-F)定位誤差為ΔXATF和ΔYATF，連桿長度誤差為 ΔLA。

2 運動學逆解誤差模型

建立刀座坐標(XYZ)7相對于基座坐標(XYZ)0的齊次轉換矩陣，運動鏈A的坐標轉換式為:

式中:

式(1)經變換后可得:

式(11)等號左邊表示為:

式(11)等號右邊表示為:

將式(12)和式(13)代入式(11)，可得到位置逆解關系:

得到運動鏈A驅動軸進給量SA:

同理可得運動鏈B和運動鏈C的逆解誤差模型。

3 運動學正解誤差模型

建立刀座平臺上 3個虎克鉸端點 (OU-J)′A，(OU-J)′B和(OU-J)′C相對于基點坐標(XYZ)0的齊次轉換矩陣，運動鏈A的虎克鉸坐標為:

同理可得到運動鏈B運動鏈C的虎克鉸坐標，最后利用機構的幾何關系可以求得刀座平臺的幾何中心位置。

由于添加了誤差參數，導致刀座平臺出現位移及傾角，利用刀座平臺上的虎克鉸位置可求得刀座平臺平面的法向量:

其中I′、J′和K′為坐標系統{P}在X、Y和Z方向的單位向量。因XP′軸與線段平行，且YP′軸與線段垂直，則I′、J′和K′表示為:

式(22)等式右邊為刀座平臺局部坐標{P}相對于基座坐標{0}的K方位分量，即為刀座平臺平面的法向量。可求得刀座坐標點為:

得到刀具端點為:

式中:(OT-E)X′、(OT-E)Y′和(OT-E)Z′分別為刀具端點的X、Y和Z軸坐標，Px7′、Py7′和Pz7′分別為刀座位置坐標，Kx′、Ky′和Kz′則為刀具平臺方位。 引入誤差參數會導致刀具平臺傾斜，故引入刀具平臺的平面向量方程作為約束條件，使程序能夠收斂至一定范圍。

4 誤差系數靈敏度仿真分析

設定機架上立柱A、B或C各誤差項如表1所示。誤差參數變化會引起機床的定位精度變化，通過Matlab進行誤差仿真分析，可找出影響機床定位精度較大的誤差系數。設定理想模型為邊長0.14 m的正方形平面，根據推導的正解誤差模型進行仿真切削。工作臺參數為:R=2 m、LA=LB=LC=2.5 m、hs=0.2 m、ht=0.5 m、t=1 m、r0，R=1 m、rR，W=0.2 m。 將程序仿真出的曲面與理想模型曲面進行比對，判斷各誤差參數對加工誤差的影響。

通過仿真分析可知，表1中列出的11個誤差參數中，角度誤差引起的面形誤差均大于位置誤差引起的面形誤差，可見角度誤差對面形誤差的影響較大。各角度誤差項引起的面形誤差范圍如圖4所示，各運動鏈對應的角度誤差相差不大，誤差項ΔΨiS引起的工件面形誤差遠遠大于其他誤差項，最大值達到7.7 mm。

圖5和圖6所示分別為運動鏈A中單獨存在誤差ΔΓAS和ΔLA時的面形誤差值，二者面形誤差區域均呈現左上右下對稱狀。前者越靠近左上和右下，面形誤差越大，面形誤差最小值處于該對角線的中點處，后者大小變化則相反。

圖7和圖8所示分別為單獨存在誤差ΔΨAS和ΔφAS時的形面誤差值，離運動鏈A越遠誤差值越大，呈斜坡狀趨勢，前者梯度線呈左上右下方向的直線，后者梯度線呈以A柱為圓心的水面波紋狀。圖9所示為單獨存在誤差ΔΓAUJ時引起的形面誤差值，誤差值為左下大右上小的斜坡狀，梯度線呈以右上角為圓心的水面波紋狀。圖10與圖11所示分別為誤差值ΔXAS和ΔXAUJ單獨存在時引起的面形誤差，兩圖很相似，由圖3 D-H坐標設定可看出，坐標系1和坐標系2的X軸方向相同，因此當在X軸方向產生誤差時，它們引起的刀具端點誤差相似。表明位置誤差在每個加工位置上都會引起誤差，且每個加工位置間的誤差量差距較小，因此找不出明顯的規律，同時從誤差量可看出位置誤差參數的影響程度比角度誤差參數小。

表1 誤差參數設定值

5 結語

(1)根據推導的逆解和正解模型，將設定的誤差參數代入Matlab軟件進行仿真，可得到工件面形誤差值。

(2)機床上并聯的3個連桿上各自對應的角度誤差項引起的工件面形誤差相差不大。

(3)機床上的角度誤差項中，立柱根部Z向角度誤差參數ΔΨAS引起的面形誤差最大，0.15°的角度誤差引起的工件表面最大面形誤差達7.7 mm。

(4)機床上位置誤差項對工件面形誤差的影響要小于角度誤差項，7項位置誤差項中，立柱根部X向位置誤差ΔXiS引起的面形誤差最大，1mm位置誤差引起的工件表面最大面形誤差為1.374 4 mm。