閥控非對稱液壓缸位置控制系統自適應魯棒控制策略

何常玉， 施光林， 郭秦陽， 王冬梅

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

閥控非對稱液壓缸電液位置系統具有功率密度比大、剛度高、響應速度快等優點，在科研和工業場合得到了廣泛的應用，如：空間對接模擬系統、舵機操縱系統、汽車主動懸掛系統和冶金設備等[1-4].由于受到控制閥死區特性、滯環特性、流量-壓力特性、非對稱缸正反向特性差異，外部負載擾動以及供油壓力變化等因素的影響，電液伺服系統通常具有高度的非線性行為[5].同時，系統中的摩擦力、液壓油液的部分物理參數由于受到工作環境以及加工誤差等因素的影響，難以被精確地測量，這使得系統建模過程不可避免地受到未知非線性函數以及未知參數的影響[6-7].因此，有必要采用有效的自適應方法，對被控系統中的不確定因素進行有效的估計與補償，并設計合理的非線性控制器來提高電液位置系統的跟蹤精度與魯棒性能.Chen等[8]提出了一種變邊界層的滑模控制方法并成功應用于電液伺服位置控制系統；Bonchis等[9]利用變結構方法控制一個4自由度的電液比例機械手并取得了一定的效果；Yao等[10]針對閥控對稱液壓缸系統設計了一種基于反步法的非線性自適應控制策略.然而，上述控制方法依然存在以下幾個問題：① 僅能解決系統中某一特定的非線性問題[8-9]；② 在利用反步法時，通常需要對非線性控制器設計過程中存在的虛擬控制器進行偏微分計算，然而，隨著系統階數的增加，偏微分計算通常會變得非常的復雜，即復雜爆炸，如文獻[11]中的式(34)～(36)，文獻[12]中的式(19)～(21).

基于上述的分析，本文提出了一種基于動態面技術的自適應魯棒控制策略.結合動態面技術，設計并利用一階濾波器對非線性控制器設計過程中的虛擬控制器進行處理，可以有效地避免傳統反步法所固有的復雜爆炸問題[13-14].魯棒控制器的引入則可以有效地抑制外負載擾動對系統的影響.設計基于不連續投影方法的自適應律，可以實現系統中未知參數的實時估計與補償.最后，利用Lyapunov方法對所提出的控制策略的穩定性進行了分析，并在MATLAB/Simulink環境中搭建了仿真模型，驗證了該算法的有效性.

1 系統描述與模型建立

1.1 系統描述

本文所研究的比例閥控非對稱液壓缸位置控制系統的原理如圖1所示.圖中：ps和pr分別為液壓泵站的供油壓力和回油壓力.該系統被用于一個足踝步態模擬器中.其中，液壓缸可以按照給定軌跡驅動一個可移動6自由度平臺的基座，以擴展6自由度平臺沿步態前-后向的工作空間.最終，脛骨在步態過程中的姿態可以被液壓缸與6自由度平臺協同模擬.然而，在工作過程中，6自由度平臺的高速運動將會導致液壓缸受到有規律的外負載擾動.

圖1 閥控非對稱液壓缸位置控制系統Fig.1 Valve-controlled asymmetric cylinder position control system

在進行液壓系統建模之前，可以作出如下合理假設：

(1) 系統中所采用的比例方向閥為理想對稱滑閥且具有零遮蓋窗口；

(2) 比例方向閥的徑向間隙泄漏可以忽略不計；

(3) 比例方向閥的節流面積與節流閥口大小呈線性關系.

1.2 系統數學模型

由于比例方向閥與液壓缸之間的連接管道短而粗，管道中的壓力損失和管道動態可以忽略；液壓缸油溫和體積彈性模量為常數；液壓缸內、外泄漏均為層流流動，液壓缸每個工作腔內各處壓力相等.因此，液壓缸內流量動態方程可以表示為

(1)

式中：xc為液壓缸活塞位移；βr為液壓油的體積彈性模量；V1=V01+A1xc和V2=V02-A2xc分別為液壓缸無桿腔和有桿腔有效容積，其中V01和V02分別為液壓缸無桿腔和有桿腔初始容積；p1和p2分別為液壓缸無桿腔和有桿腔的壓力；Ci為液壓缸內泄漏系數；Ce1和Ce2分別為液壓缸無桿腔和有桿腔外泄漏系數，考慮到密封技術的提高，外泄漏系數通常可以被忽略；q1和q2分別為液壓缸無桿腔和有桿腔流量，可以表示為

(2)

根據牛頓第二定律，液壓缸活塞上的動力學平衡方程可以表示為

(3)

式中：m為液壓缸活塞桿上等效質量；b為黏性摩擦系數；f(t)為足踝復合體的運動模擬及力加載過程所產生的外干擾力.

結合公式(1)～(3)，為了將系統表示成狀態空間形式，狀態變量可以被定義為

同時，定義參數向量

其中：θ1=1/m、θ2=b/m、θ3=βeA1、θ4=βeCi、θ5=βekq、θ6=βeA2，則狀態空間表達式可以表示為

(4)

式中：

在進行控制器設計之前，需要系統作出如下的合理假設：

(2) 對于實際的液壓系統而言，顯然，不確定參數向量θ在一個已知的有界的封閉集合Ω內：?θ∈Ω，0<θimin<θi<θimax，i=1,2,…,6，且θimin和θimax為已知常量并滿足θimin>0和θimax>0.同時外干擾項d有界并存在|d|≤D，D為已知正常量.

2 自適應魯棒控制策略設計

2.1 控制器設計

本文將利用動態面方法設計所提出的液壓系統的控制器，通過引入一階濾波器來避免控制器設計過程中傳統反步法所帶來的復雜爆炸問題.控制器的具體設計步驟為：

(1) 定義系統的跟蹤誤差為

s1=x1-xd

(5)

則第一個虛擬控制器x2d可以被設計為

(6)

式中：k1>0為反饋增益.利用第1個一階濾波器對所設計的虛擬控制器x2d進行處理，如：

(7)

定義第2個誤差面s2和一階濾波器公式(7)的誤差y2分別為

s2=x2-x2f;y2=x2f-x2d

(8)

將式(6)和(8)代入式(5)可得

(2) 考慮到不確定參數以及外負載擾動的影響，一個復合虛擬控制器可以被設計為

(9)

類似地，第2個一階濾波器可以被設計為

(10)

定義第3個誤差面s3和第2個一階濾波器誤差y3為

s3=x3-x3f;y3=x3f-x3d

(11)

將式(9)代入式(8)中求導得

(12)

定義一個半正定李雅普諾夫方程：

(13)

則V2關于時間的導數為

(14)

(15)

(3) 定義控制輸入信號：

(16)

式中:k3>0為魯棒控制器增益.

綜合狀態空間模型式(4)與(11)，s3關于時間的導數，可以表示為

(17)

定義一個半正定李雅普諾夫方程：

(18)

綜合式(17)和(18)，可得

(19)

選擇合適的us2滿足條件：

s3us2≤0

2.2 自適應律設計

基于不連續投影方法參數自適應律可以表示為

(20)

式中：Γ>0為一個對角矩陣；π為自適應函數向量，可以被設計為

而投影映射Proj(g)可以寫成：

(21)

那么，對于任何的自適應函數π，可以保證：

(22)

3 穩定性證明

當系統滿足假設(4)和(5)時，在所設計的控制器作用下，所有閉環信號可以保證一致最終有界.選擇李雅普諾夫函數：

(23)

利用 YONG’S 不等式，存在：

(24)

(25)

結合式(14)、(19)、(24)和(25)，對式(23)求導可得

(26)

由假設(4)和(5)可以知道，存在一個滿足下列條件的參數:

式中：a為任意正實數.結合式(26)，可以得到

4 仿真分析

本文在MATLAB/Simulink環境中對所提出的自適應魯棒控制策略進行仿真分析.利用S-Function結合式(4)搭建液壓系統的數學模型，利用式(6)、(9)和(16)構建非線性控制器，同時利用式(20)對系統中不確定參數進行在線估計.完整的控制系統原理如圖2所示，液壓系統參數如表1所示.

根據表1中參數的標稱值可以設定所設計不確定參數的初始值為：θ10=0.001 7，θ20=5.25，θ30=6.234 5×105，θ40=2×10-7，θ50=20.379 1，θ60=3.053 6×105.針對本文研究的閥控非對稱液壓缸位置控制系統，對不確定參數的上下限作如下規定：θ1min=0.001，θ2min=4.25，θ3min=5×105，θ4min=1.5×10-7，θ5min=18，θ6min=3×105，θ1max=0.003，θ2max=6，θ3max=7×105，θ4max=2.5×10-7，θ5max=22，θ6max=3×105.

|為了驗證自適應魯棒控制策略的控制效果以及論證不確定參數和外負載干擾對閥控非對稱液壓缸位置控制系統的影響，采用如下仿真方案：I-無負載擾動情況下傳統PID控制策略與魯棒控制策略(RC)、自適應魯棒控制策略(ARC)控制效果對比；II-存在正弦波負載f1(t)工況下傳統PID控制策略、魯棒控制策略(RC)與自適應魯棒控制策略(ARC)控制效果對比.仿真實驗過程中，設定理想位移和外負載干擾分別為

圖2 閥控非對稱液壓缸位置控制系統控制方框圖Fig.2 Schematic diagram of valve-controlled asymmetric cylinder position control system

表1仿真參數
Tab.1Simulationparameters

參數 標稱值參數標稱值V01/m30.8×10-3ps/MPa9V02/m31.88×10-3m/kg600A1/m23.117×10-3k130A2/m21.527×10-3k2600βe/MPa200k30.01Ci/[m3·(s·Pa)-1]10-15k44kq1.019×10-7k51b/(kN·s·m-1)3.150×103

xd=0.2sin(0.4πt)

f1(t)=3sin(0.8πt)

0≤t≤10

設定仿真過程為固定步長 0.001 s，在工況I中，系統跟蹤誤差如圖3所示，伺服比例閥的控制信號如圖4所示.液壓缸的運行速度及其虛擬負載壓力分別如圖5和6所示.

由圖3可見，傳統PID控制策略作用下系統的跟蹤誤差僅能保證在±5 mm.相比之下，仿真結果顯示魯棒控制策略作用下系統的跟蹤誤差可以保證在 ±0.20 mm.而引人參數自適應之后，自適應魯棒控制策略相比于魯棒控制策略作用下的系統跟蹤誤差有了進一步的提升.

圖3 3種控制策略跟蹤誤差(工況I)Fig.3 Tracking errors of three strategies for Case I

圖4 控制信號(工況I)Fig.4 Control input for Case I

圖5 運行速度(工況I)Fig.5 Cylinder velocity for Case I

圖6 虛擬負載壓力(工況I)Fig.6 Virtual load pressure for Case I

由于液壓系統具有很強的非線性行為，常規的PID控制方法通常難以滿足高精度軌跡追蹤要求.結合圖4可以發現，相較于傳統的PID控制器，基于模型的非線性控制器RC能夠以前饋的形式將液壓系統的非線性因素補償到控制律中，從而提高液壓系統的跟蹤性能.但是，液壓系統中存在的未知的非線性參數難以被精確地測量，傳統的RC控制器設計過程，通常會忽略未知參數的影響，或簡單地根據經驗來選取這些非線性參數.而這種方式無疑會使得控制器無法對系統進行有效的補償.相反，通過合理的設計自適應律，ARC能夠實時地估計這些未知參數并對控制器進行優化.顯然，自適應機制的存在使得ARC控制器相比于RC控制器具有更好的控制效果.而ARC對于控制信號的優化以及對于跟蹤精度的提升，被清晰地反映到了圖3和圖4中.

工況II的仿真結果如圖7所示.伺服比例閥的控制信號如圖8所示，液壓缸的運行速度及其虛擬負載壓力分別如圖9和10所示.

圖7 3種控制策略跟蹤誤差(工況II)Fig.7 Tracking errors of three control strategies for Case II

圖8 控制信號(工況II)Fig.8 Control input for Case II

圖9 運行速度(工況II)Fig.9 Cylinder velocity for Case II

圖10 虛擬負載壓力(工況II)Fig.10 Virtual load pressure for Case II

由圖7可見，當對系統施加正弦擾動時，傳統PID控制策略作用下的系統跟蹤誤差達到-8 mm.而RC與ARC仍可以保證系統的跟蹤誤差在±0.5 mm范圍以內.

由于系統中引入了非線性擾動之后，常規的PID控制器不能對該擾動進行有效的抑制，因此在原來的調節參數控制下跟蹤誤差有了進一步的增大.結合圖8可以看出，與傳統的PID控制器相比，RC控制器可以將一定范圍內的非線性擾動以前饋的形式補償到液壓系統的控制律中，從而能夠保證系統受到外負載擾動的影響非常小，魯棒性能有了顯著的提升.在此基礎上，利用所設計的自適應律對系統中存在的未知非線性參數進行在線估計，得到的未知參數曲線如圖11所示.由圖可見，未知非線性參數的在線估計值在系統運行過程中平滑過渡，且在標稱值附近小范圍波動.ARC控制器將在線估計得到的未知非線性參數反饋到控制器中對控制器進行在線優化，因此相比于RC控制器能夠達到更精確的控制效果.由圖8、9和10中的狀態量曲線對比可以看出3種控制策略的控制過程.

圖11 自適應魯棒控制策略參數估計(工況II)Fig.11 Parameters estimation of ARC for Case II

5 結語

本文針對具有負載擾動和不確定參數的閥控非對稱液壓缸位置控制系統，在現有的反步法的基礎上，針對其固有的復雜爆炸問題，提出了一種基于動態面技術的自適應魯棒控制策略.通過利用一階濾波器對非線性控制器設計過程中的虛擬控制信號進行處理，有效地降低了算法設計的復雜性；同時，設計了基于非連續投影方法的自適應律，實現了液壓系統中未知參數的精確在線估計，進一步提高了系統的跟蹤性能；并利用Lyapunov方法分析了整個閉環系統的穩定性.基于MATLAB/Simulink的仿真結果表明，本文所提出的自適應魯棒控制策略可以有效地提高系統的位置跟蹤精度與魯棒性能.